Endomorfismo

[peppe_sic]

Al variare del paramentro h ∈ R sia assegnato l'endomorfismo f(h) di R^4 che ad ogni vettore v = (x,y,z,w) \in R^4 associa il vettore:

f(v) = ((h+1)z, -(h+2)x+y-(h+5)z+(h+3)w, 3z, x-(h+3)z+3w)

si proceda a:
a) determinare eventuali valori di h ∈ R per i quali f(h) è un endomorfismo di R^4;

b) determinare i valori h ∈ R affinchè la matrice associata ad f(h) rispetto alla base canonica di R^4 sia diagonalizzabile (tralasciare la diagonalizzazione);

c) in corrispondenza dei valori di h ∈ R trovati al punto (b), determinare i sottospazi Im(f(h)) e ker (f(h)), specificando delle equazioni, la dimensione ed una base per ciascuno di essi;

d)in corrispondenza dei valori di h ∈ R trovati al punto (b), si stabilisca se risulta R^4 = Im(f(h))⊕ker(f(h)), giustificando adeguatamente la risposta.

non riesco proprio ad impostarlo.
grazia in anticipo a chi mi aiuta!!!

[garnak.olegovitc1]

"peppe_sic":Al variare del paramentro h ∈ R sia assegnato l'endomorfismo f(h) di R^4 che ad ogni vettore v = (x,y,z,w) \in R^4 associa il vettore:

f(v) = ((h+1)z, -(h+2)x+y-(h+5)z+(h+3)w, 3z, x-(h+3)z+3w)

si proceda a:
a) determinare eventuali valori di h ∈ R per i quali f(h) è un endomorfismo di R^4;

tu hai \(f_h \in \operatorname{End}_\Bbb{R}(\Bbb{R}^4)\) tale che al variare di \(h \in \Bbb{R}\) $$f_h((x,y,z,w)) = ((h+1)z, -(h+2)x+y-(h+5)z+(h+3)w, 3z, x-(h+3)z+3w)$$ ora se hai già per ipotesi un endomorfismo che intendi con quanto scritto in a), non capisco.. che definizione usi di endomorfismo?