Endomorfismi Simmetrici e Prodotto Scalare

[pierlurizzo91]

Ciao a tutti
Avrei bisogno di una mano con questo esercizio:


Sia $f$ l'endomorfismo di $\mathbb{R}^4$ rappresentato rispetto alla base canonica dalla matrice
$$A=\begin{pmatrix}3&1&0&0\\1&3&0&0\\-1&-1&2&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}.$$
Dire se esiste in $\mathbb{R}^4$ un prodotto scalare (definito positivo) rispetto al quale $f$ é un endomorfismo simmetrico. In caso di risposta positiva, si determini un tale prodotto scalare e la matrice che lo rappresenta rispetto alla base canonica.


Grazie

[Studente Anonimo]

Dovresti proporre almeno un tentativo di soluzione.

[pierlurizzo91]

"anonymous_0b37e9":Dovresti proporre almeno un tentativo di soluzione.

Ho provato a considerare una generica matrice simmetrica e porre alcune condizioni per determinare i coefficienti, ad esempio $g(f(x),x)=g(x,f(x))$ o l'essere definita positiva (col Teorema di Sylvester), ma temo non sia la strada esatta.

[Studente Anonimo]

Se l'endomorfismo è diagonalizzabile, cioè, ammette una base di autovettori, un qualsiasi prodotto scalare definito positivo rispetto al quale la base sia ortonormale può soddisfare la consegna. Nel caso proposto, poichè:

$hatAveca=\lambdaveca$

$\lambda=1 rarr veca=(0,0,0,\alpha) ^^ \alphane0$

$\lambda=2 rarr veca=(\alpha,-\alpha,\beta,0) ^^ [\alphane0 vv \betane0]$

$\lambda=4 rarr veca=(\alpha,\alpha,-\alpha,0) ^^ \alphane0$

l'esistenza è assicurata. Scegliendo:

$\lambda=1 rarr veca=(0,0,0,1)$

$\lambda=2 rarr veca=(1,-1,0,0) ^^ veca=(0,0,1,0)$

$\lambda=4 rarr veca=(1,1,-1,0)$

un prodotto scalare definito positivo che rispetti la consegna è:

$[[[0,1,0,1],[0,-1,0,1],[0,0,1,-1],[1,0,0,0]]^(-1)]^t*[[1,0,0,0],[0,1,0,0],[0,0,1,0],[0,0,0,1]]*[[0,1,0,1],[0,-1,0,1],[0,0,1,-1],[1,0,0,0]]^(-1)$

[pierlurizzo91]

Quindi basta verificare che $f$ sia semplice? In tal caso $f$ risulta simmetrico rispetto ad un prodotto scalare definito positivo rispetto al quale la base di autovettori sia ortonormale?

"anonymous_0b37e9":un prodotto scalare definito positivo che rispetti la consegna è

Per trovare il prodotto scalare ho provato anche a considerare una generica matrice diagonale e, imponendo le condizioni di ortonormalità della base di autovettori, il risultato ottenuto è uguale a quello che si ottiene seguendo il metodo da te suggerito. Teoricamente perchè basta considerare $A^t I A$ dove $A$ è l'inversa della matrice avente per colonne le componenti degli autovettori?

[Studente Anonimo]

Intanto, la seguente matrice:

$[[1,0,0,0],[0,1,0,0],[0,0,1,0],[0,0,0,1]]$

rappresenta il prodotto scalare definito positivo rispetto alla base spettrale:

$(0,0,0,1) ^^ (1,-1,0,0) ^^ (0,0,1,0) ^^ (1,1,-1,0)$

in modo tale che la medesima sia una base ortonormale. Inoltre, la seguente matrice è la matrice del cambiamento di base dalla base naturale alla base spettrale:

$[[0,1,0,1],[0,-1,0,1],[0,0,1,-1],[1,0,0,0]]^(-1)$

Infine, quest'ultima matrice:

$[[[0,1,0,1],[0,-1,0,1],[0,0,1,-1],[1,0,0,0]]^(-1)]^t*[[1,0,0,0],[0,1,0,0],[0,0,1,0],[0,0,0,1]]*[[0,1,0,1],[0,-1,0,1],[0,0,1,-1],[1,0,0,0]]^(-1)$

rappresenta lo stesso prodotto scalare definito positivo rispetto alla base naturale, ottenuta mediante la solita formula del cambiamento di base di un generico prodotto scalare.

"pierlurizzo91":
Quindi basta verificare che $f$ sia semplice?

Certamente, se semplice è sinonimo di diagonalizzabile.

"pierlurizzo91":
In tal caso $f$ risulta simmetrico rispetto ad un prodotto scalare definito positivo rispetto al quale la base di autovettori sia ortonormale?

Certamente.