[Endomorfismi] Problema teorico

[Flamber]

Riporto quanto scritto sul libro, ed il mio tentativo di soluzione;

Provare che nell'insieme degli endomorfismi $f: RR^2rarrRR^2$

1) Non esiste alcun elemento f per cui f(1,2)=(2,3), f(2,3)=(3,4), f(3,4)=(1,1);

2) Esiste un solo elemento f per cui f(1,2)=(2,3), f(2,3)=(3,4);

3) Esistono infiniti elementi f per cui f(1,2)=(2,3);

4) Esiste un solo elemento f per cui f(1,2)=(2,3), f(2,3)=(3,4), f(3,3)=(3,3);

5) Esistono infiniti elementi f per cui f(1,2)=(2,3), f(2,4)=(4,6).



Il primo quesito l'ho risolto senza difficoltà, bastava provare che la somma delle prime due non da come controimmagine la somma delle controimmagini.

Prima di tutto non ho capito a cosa si riferisca quando parla di "elemento f" non ho mai sentito questa definizione nel mio corso.

Il secondo caso ed il quinto sono simili, solo che al numero 5 i vettori sono l.d. e quindi dovrebbe essere riconducibile a quello del caso 3, ma non ho capito bene la questione.

Ringrazio anicipatamente chiunque mi aiuterà

[j18eos]

L'esercizio inizia col considerare l'insieme degli endomorfismi lineari di \(\mathbb{R}^2\), per chiarezza considera l'insieme \(\mathrm{End}_{\mathbb{R}}\mathbb{R}^2\); quindi \(f\) è un elemento di un siffatto insieme.

Non ho capito come hai risolto il primo punto!? Inoltre, basta notare che \(\{(1;2);(2;3)\}\) è una base di \(\mathbb{R}^2\), indi ciò...