Endomorfismi nilpotenti
Non riesco a risolvere quest'esercizio:
Siano \(\displaystyle \phi\) e \(\displaystyle \psi\) due endomorfismi nilpotenti che commutano di uno spazio vettoriale \(\displaystyle \mathit{V} \) di dimensione n. Dimostrare che \(\displaystyle \psi \) \(\displaystyle ^{i} \) \(\displaystyle o \) \(\displaystyle \phi \) \(\displaystyle ^{n-i} \mathit{=0} \)
Siano \(\displaystyle \phi\) e \(\displaystyle \psi\) due endomorfismi nilpotenti che commutano di uno spazio vettoriale \(\displaystyle \mathit{V} \) di dimensione n. Dimostrare che \(\displaystyle \psi \) \(\displaystyle ^{i} \) \(\displaystyle o \) \(\displaystyle \phi \) \(\displaystyle ^{n-i} \mathit{=0} \)
Risposte
Cosa succede quando due endomorfismi triangolabili commutano?
Si, la soluzione con la triangolarizzabilità simultanea l'ho trovata su un altro sito, ma è possibile non usarla? Perché a lezione non l'abbiamo vista
Ci penso. Tu come hai provato ad attaccarlo? Quali strumenti puoi utilizzare?
In realtà ho dimostrato la diagonalizzabilità simultanea quindi stavo provando a dimostrare la triangolarizzabiità (se si dice così).
Ho provato per induzione sulla dimensione di V ma proprio non riesco ad andare avanti. Mi aiuteresti? ho dimostrato che \(\displaystyle \mathit{ker} \phi ^{k} \) e \(\displaystyle \mathit{im} \phi^{k} \) sono \(\displaystyle \psi \) stabili per ogni k.
A questo punto l'idea che mi è venuta è quella di prendere una base di V ttale che i primi r vettori appartengano al ker di \(\displaystyle \phi \). Posso considerare la restrizione di \(\displaystyle \psi \) a \(\displaystyle \mathit{ker} \phi \), a questo punto considerare una base di \(\displaystyle \mathit{ker} \phi \) tc \(\displaystyle \psi \) sia triangolare. Così ottengo queste due matrici:
\(\displaystyle \phi= \begin{bmatrix} 0 & A \\ 0 & B \end{bmatrix} \psi= \begin{bmatrix} C & D \\ 0 & E \end{bmatrix} \)
dove C è triangolare ma a questo punto non so come andare avanti
Volendo posso rendere B triangolare il problema è che non so come farlo per E
Ho provato per induzione sulla dimensione di V ma proprio non riesco ad andare avanti. Mi aiuteresti? ho dimostrato che \(\displaystyle \mathit{ker} \phi ^{k} \) e \(\displaystyle \mathit{im} \phi^{k} \) sono \(\displaystyle \psi \) stabili per ogni k.
A questo punto l'idea che mi è venuta è quella di prendere una base di V ttale che i primi r vettori appartengano al ker di \(\displaystyle \phi \). Posso considerare la restrizione di \(\displaystyle \psi \) a \(\displaystyle \mathit{ker} \phi \), a questo punto considerare una base di \(\displaystyle \mathit{ker} \phi \) tc \(\displaystyle \psi \) sia triangolare. Così ottengo queste due matrici:
\(\displaystyle \phi= \begin{bmatrix} 0 & A \\ 0 & B \end{bmatrix} \psi= \begin{bmatrix} C & D \\ 0 & E \end{bmatrix} \)
dove C è triangolare ma a questo punto non so come andare avanti
Volendo posso rendere B triangolare il problema è che non so come farlo per E
La somma di nilpotenti in ogni anello è nilpotente, quindi \(\varphi+\psi\) è nilpotente. L'indice di nilpotenza di un endomorfismo $\varphi$ di $V$ non può superare $d = \dim V$ (provalo, è una banalità). Se due endomorfismi \(\varphi,\psi\) commutano, allora nella $K$-algebra \(\text{End}_K(V)\) vale
\[
(\varphi+\psi)^n =\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \varphi^k\psi^{n-k}
\] con la convenzione che il coefficiente binomiale è zero se la caratteristica di $K$ divide quell'intero. Se unisci questi fatti hai che \(0=(\varphi+\psi)^d\), cosa che implica (principio di identità dei polinomi) che ciascuno dei monomi di questo polinomio è nullo, cosa che implica (principio di identità delle funzioni) che ciascun \(\varphi^k \psi^{n-k}\) è uguale all'applicazione nulla.
\[
(\varphi+\psi)^n =\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \varphi^k\psi^{n-k}
\] con la convenzione che il coefficiente binomiale è zero se la caratteristica di $K$ divide quell'intero. Se unisci questi fatti hai che \(0=(\varphi+\psi)^d\), cosa che implica (principio di identità dei polinomi) che ciascuno dei monomi di questo polinomio è nullo, cosa che implica (principio di identità delle funzioni) che ciascun \(\varphi^k \psi^{n-k}\) è uguale all'applicazione nulla.
Bella soluzione killing_buddha, complimenti.
Ma va, penso sia solo quello che chi ha scritto l'esercizio si aspetta che pensi lo studente del caso.
La soluzione mi piace molto, però il punto dopo dell'esercizio chiedeva di dimostrare che \(\displaystyle \phi+\alpha\psi \) è nilpotente per ogni \(\displaystyle \alpha \), quindi non penso si possa sfruttare il fatto che \(\displaystyle \psi + \phi \) è nilpotente. Come si conclude con la simultanea triangolarizzablità? Oppure come si dimostra che \(\displaystyle \psi + \phi \) è nilpotente?
Non è necessaria la simultanea triangolabità: nilpotente vuol dire che $\exists s \in \mathbb{N}$ tale che $\phi^s = 0$, il minito di tali interi si chiama indice di nilpotenza; siano $m, n$ gli indici di nilpotenza di $\phi$ e $\psi$, cosa puoi dire di $(\phi + \psi)^(m+n)$, tenendo conto che $\psi \circ \phi = \phi \circ \psi$?
Bell'idea kb ma
Prendiamo il caso $n=3$. Abbiamo $A^3=B^3=(A+B)^3=0$ da cui $A^2B+AB^2=0$ e da qui come continui per mostrare che $A^2B=AB^2=0$?
Penso che $(A-B)^3=0$ risolve. Probabilmente l'idea è applicare variazioni di quel binomio di Newton.
"killing_buddha":[tex]End_K(V)[/tex] non è un anello di polinomi.
(principio di identità dei polinomi)
Prendiamo il caso $n=3$. Abbiamo $A^3=B^3=(A+B)^3=0$ da cui $A^2B+AB^2=0$ e da qui come continui per mostrare che $A^2B=AB^2=0$?
Penso che $(A-B)^3=0$ risolve. Probabilmente l'idea è applicare variazioni di quel binomio di Newton.
Che è nilpotente… Grazie mille!!
"Martino":[tex]End_K(V)[/tex] non è un anello di polinomi.[/quote]
Bell'idea kb ma [quote="killing_buddha"](principio di identità dei polinomi)
Contiene certamente un quoziente di $K[U,V]$; ma in effetti in seconda battuta è vero che potrebbe essere $X+Y=0$ senza che né $X$ né $Y$ siano zero. Il classico errore scemo che implicherebbe vivremmo in un mondo perfetto
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