Endomorfismi e applicazioni lineari dati in forma vettoriale

[Mamicilla]

Sono disperata. Lo so che sembrerò stupidissima a chiedere queste cose, ma non so davvero come fare altrimenti.
Vengo al sodo. Nonostante io abbia letto nel topic "Algebra for dummies" come fare quando l'endomorfismo era dato sotto forma di equazione lineare.. Quando mi trovo cose del genere non so davvero da dove cominciare:

"Studiare l'endomorfismo $f:ℝ^3→ℝ^3 $ tale che: $ f(e_{1})=(3,4,-1), f(e_{2})=(0,1,0), f(e_{3})=(6,7,-2) $ e verificare se il suddetto endomorfismo è diagonalizzabile"

Cosa me ne faccio di quelle tre relazioni che la prof mi ha dato? E studiare l'endomorfismo, vuol dire conoscerne la dimensione, il ker e l'im?
o che altro? Per $ e_{1}, e_{2} $ ed $ e_{3} $ intenderà i vettori coordinati della base canonica? E se sì, che conclusioni potrei trarne?
Non vedo via d'uscita da questo mistero!

Vi ringrazio tutti anticipatamente per la gentilezza ;__;
Marta

[dissonance]

Ma guarda Marta è molto semplice. Intanto con $e_1, e_2, e_3$, in mancanza di ulteriori informazioni, si indica la base canonica. Quindi ogni vettore $(x, y, z)\inRR^3$ si può scrivere come $xe_1+ye_2+ze_3$ (questo è il discorso di componenti e coordinate su cui Sergio pone fortemente l'accento nel suo Algebra lineare for dummies, precisamente qui). Tu poi sai che $f$ è lineare, dunque commuta con le combinazioni lineari:

$f(xe_1+ye_2+ze_3)=xf(e_1)+yf(e_2)+zf(e_3)$.

Ma allora conoscere $f(e_1), f(e_2), f(e_3)$ equivale a conoscere $f(x, y, z)$. In particolare tutto è pronto per costruire la matrice associata ad $f$ relativamente alla base canonica di $RR^3$, e poi applicare a questa matrice la solita tiritera necessaria allo studio della diagonalizzabilità. Provaci un po'.

[Mamicilla]

ok. Allora.
Visto che conosco già le componenti nella base canonica di $ f(e_{1}), f(e_{2}) ed f(e_{3})$ posso costruire la matrice associata
$ M(f,B) = ( ( 3 , 0 , 6 ),( 4 , 1 , 7 ),( -1 , 0 , -2 ) ) $
che, applicando nell'ordine le trasformazioni:
$ C_{3} -> C_{3} -2C_{1} $ e $ C_{3} -> C_{3} + C_{2} $
diventa:

$A= ( ( 3 , 0 , 0 ),( 4 , 1 , 0 ),( -1 , 0 , 0 ) ) $ e dato che rkA=2, dim (im f) = 2
ed una base per im f è costituita dai vettori $ <(3,4,-1), (0,1,0)>$ giusto?

quindi dim (Ker f) = dim $RR^3$ - dim (im f) = 3 - 2 = 1
PROBLEMA! come me lo studio adesso il Ker f?
Io sono arrivata a questa teoria.

Come mi ha suggerito il gentilissimo dissonance, io ho da testo la seguente relazione:

(x',y',z') = x(3,4,-1) + y(0,1,0) + z(6,7,-2)

da ciò, ne segue il sistema:
$ { ( x' = 3x + 6z ),( y' = 4x + y + 7z ),( z' = -x -2z ):} $

Adesso, siccome io so che Ker f è per definizione $ Ker f={v∈V:f(v)=0W} $
vuol dire che per vedere come è fatto sto Ker f devo risolvere il sistema:

$ { ( 0 = 3x + 6z ),( 0 = 4x + y + 7z ),( 0 = -x -2z ):} $
giusto?

[dissonance]

Ad una occhiata ultra-rapida è tutto giusto. E, sì, "trovare il $"ker"$" di una applicazione lineare significa sempre risolvere equazioni lineari di qualche tipo.