Endomorfismi diagonalizzabili

[eeee13401]

Salve ho un problema con questi due quesiti simili:
1)Sia f /in End(R^3) con autovalori 1,0,-1. f è iniettiva? f è diagoalizzabile?
2) Sia f /in End(R^3) con autovalori 1,4,-1. Il polinomio caratteristico di f può essere (4-t)(t^(2)+1)? f è diagonalizzabile?
Grazie in anticipo

[Pappappero1]

Dovresti provare a scrivere almeno una tentata soluzione, spiegando cosa non ti riesce.

1) Cosa si puo' usare per dire se $f$ iniettiva o meno? Che teoremi hai a disposizione sulla diagonalizzabilita' una volta che conosci gli autovalori?

2) Quali sono le radici del polinomio che hai scritto?

[eeee13401]

una mia ipotetica soluzione sarebbe di formare una matrice che abbia sulla diagonale gli autovalori poi mi trovo il polinomio caratteristico lo risolvo per gli stessi autovalori e mi trovo una base di autovettori e stabilisco se è diagonalizzabile mentre pr quanto riguarda l'iniettività io sono abituato a detreminarmi il nucleo tramite soluzione del sistema omogeneo della funzione in questo caso non so come agire....in vostra attesa

[Pappappero1]

Se prendi una matrice diagonale, gli autovalori sono gli elementi sulla diagonale e la base canonica e' una base di autovettori.

Bisogna ragionare un po' di piu', ma e' semplicemente applicazione di risultati standard.

Prima di tutto, $f$ e' iniettiva se il suo nucleo e' banale, giusto? Conoscendo gli autovalori, come si puo' verificare che il nucleo di una matrice e' banale?

Inoltre, $f$ e' diagonalizzabile se e solo se vale una proprieta' importante sugli autovalori. In particolare questa proprieta' e' facilmente verificabile nella situazione in cui sei (in cui hai $3$ autovalori disinti con una matrice che puo' avere al massimo tre autovalori). Di che proprieta' sto parlando?

Infine, gli autovalori sono le radici del polinomi caratteristico. Quindi, conoscendo gli autovalori, si puo' ricostruire (a priori a meno di scalari, ma e' facile trovare anche gli scalari) il polinomio caratteristico. Come?