Endomorfismi di $CC^n$ come sp.vett reale.

[alvinlee881]

Sia $CC^n$ l'usuale $CC$-spazio vettoriale, e sia $f$ un endomrfismo di $CC^n$. Consideriamo adesso $CC^n$ come spazio vettoriale reale, e sia $barf$ l'applicazione $f$ vista stavolta come endomorfismo dell'$RR$-spazio vettoriale $CC^n$. Dimostrare che
$det(barf)=|det(f)|^2$.

[dissonance]

Visto che nessuno sta rispondendo, vorrei chiedere un suggerimento. Per caso, se $z_1,...z_n$ sono gli autovalori di $f$, allora $z_1, \bar{z_1},...z_n, \bar{z_n}$ sono gli autovalori complessi di $\hat{f}$ (uso \hat perché \bar lo riservo al complesso coniugato)? Da qui seguirebbe subito la tesi. Io penso di si, ma nel dimostrarlo mi sto perdendo nei conti.

[rubik2]

Tento una soluzione:

fisso una base ${v_1,...,v_n}$ di $f$ che lo porta in forma canonica di Jordan.

Cerco di scrivere la matrice di $bar(f)$ relativa ad un sottospazio invariante $V$ generato diciamo da $v_1,...,v_k$ quindi vale

$f(v_1)=lambda v_1$, $f(v_j)=v_(j-1)+lambda v_j$ per $2<=j<=k$

${v_1,iv_1,...,v_n,iv_n}$ è una $RR-"base"$ di $V$ scrivo la matrice di $bar(f)$ in questa base:

$f(v_1)=xv_1+yiv_1$ dove $lambda=x+iy$
$f(v_j)=v_(j-1)+xv_j+yiv_j$
$f(iv_1)= x iv_1-y v_1$
$f(iv_j)=iv_(j-1)+x iv_j-yv_j$

(notiamo che $V$ ovviamente rimane invariante)

la matrice è $((x_1,-y_1,1,...,,,...,0),(y_1,x_1,0,1,...,,...,0),(0,0,x_1,-y_1,1,...,...,0),(0,0,y_1,x_1,0,1,...,0),(...,,,,,,,...),(0,...,,,,...,x_1,-y_1),(0,...,,,,...,y_1,x_1))$

ed il determinante è $|lambda|^(2k)$

dove k è la lunghezza del blocco di Jordan del sottospazio invariante $V$, il determinante di $bar(f)$ è il prodotto dei determinanti di questi blocchi che viene $|lambda|^2$

mi pare sia corretto, ditemi voi
ciao

[alvinlee881]

@rubik
E' corretto, solo alla fine hai detto "il determinante è il prodotto dei determinanti di questi blocchi", ed è giusto, ma non viene $|\lambda|^2$ bensì $|\lambda_1|^(2a_1)*..*|\lambda_h|^(2a_k)$, con i $\lambda_i$ gli autovalori e gli $a_i$ le dimensioni del relativo blocco di Jordan (le loro molteplicità algebriche), che viene appunto $|det(f)|^2$.
Di sicuro è stata una distrazione, per il resto la dimotrazione è corretta.

P.S. A me è sembrato un fatto interessante, che ne pensate?

[alvinlee881]

"dissonance":Visto che nessuno sta rispondendo, vorrei chiedere un suggerimento. Per caso, se $z_1,...z_n$ sono gli autovalori di $f$, allora $z_1, \bar{z_1},...z_n, \bar{z_n}$ sono gli autovalori complessi di $\hat{f}$ (uso \hat perché \bar lo riservo al complesso coniugato)? Da qui seguirebbe subito la tesi. Io penso di si, ma nel dimostrarlo mi sto perdendo nei conti.

Direi proprio di no. E comunque questo non dimostrerebbe niente, poichè la matrice che rappresenta $barf$ deve essere a entrate reali. O ho capito male cosa volevi dire?

[dissonance]

Certo. Però data una matrice a entrate reali, la si può sempre pensare come a entrate complesse e considerarne gli autovalori: a questo mi riferivo. Riformulo la domanda precedente più nel dettaglio:

Se l'endomorfismo $f$ è rappresentato dalla matrice $A+iB\inCC^{ntimesn}$, l'endomorfismo $\hat{f}$ sarà rappresentato dalla matrice a blocchi $[[A, -B], [B, A]]\inRR^{2ntimes2n}$ (si intende che, se la $CC$-base è $b_1,...b_n$, la $RR$-base deve essere $b_1...b_n, ib_1,...,ib_n$). Domanda: se gli autovalori di $A+iB$ sono i numeri complessi $z_1,...,z_n$ (eventualmente ripetuti), gli autovalori di $[[A, -B],[B, A]]$ come matrice complessa sono forse $z_1, \bar{z_1}, ...z_n, \bar{z_n}$?

Questa era la domanda. E' un po' scocciante da verificare direttamente, per la verità: io mi perdo in un mare di conti con tutte quelle $i$... Ma forse con qualche strumento algebrico raffinato (io mi fermo alla clava purtroppo ) si può dimostrare facilmente.

[rubik2]

secondo quanto ho fatto precedentemente la matrice nella base reale è una matrice a blocchi del tipo sotto ed il determinante è il prodotto dei determinanti

$((x_1,-y_1,1,...,,,...,0),(y_1,x_1,0,1,...,,...,0),(0,0,x_1,-y_1,1,...,...,0),(0,0,y_1,x_1,0,1,...,0),(...,,,,,,,...),(0,...,,,,...,x_1,-y_1),(0,...,,,,...,y_1,x_1))$

se faccio $f-t \ Id$ ottengo

$((x_1-t,-y_1,1,...,,,...,0),(y_1,x_1-t,0,1,...,,...,0),(0,0,x_1-t,-y_1,1,...,...,0),(0,0,y_1,x_1-t,0,1,...,0),(...,,,,,,,...),(0,...,,,,...,x_1-t,-y_1),(0,...,,,,...,y_1,x_1-t))$

il determinante è $[(x_1-t)^2+y^2]^k$ le radici sono $t=x_1\pmiy_1$ entrambe con molteplicità k

dovrebbe funzionare anche questo

[dissonance]

Mi pare che funzioni, rubik! Questo mi sembra un risultato carino, e chissà che non serva anche a qualcosa, magari per questioni di analisi complessa a più variabili.

[alvinlee881]

@dissonance
Ok, avevo capito male cosa volessi dire (come immaginavo).
Ordinando la base come hai fatto te (che poi è la stessa soluzione che ho trovato io, senza passare dalla forma di jordan), e avendo detto prima che $A$ e $B$ possono essere scelte triangolari superiori (siamo su $CC$), sviluppi il determinante con laplace procedendo per induzione, e ottieni la tesi. Mi sembra migliore il modo proposto da rubik (che fra l'altro è anche la soluzione proposta dal prof -questo era un compito di algebra lineare del primo anno, che ho ripescato perchè mi sembrava interessante-)
Per quanto riguarda la tua congettura, ti ha risposto rubik calcolando il polinomio caratteristico.

p.s. concordo anch'io che è un risultato carino e chissà, magari anche utile: mi sembrava giusto postarlo!