Endomorfismi
Salve ad omnes...
Chi mi darebbe una mano con questo esercizio che svela un frazione delle mie incertezze algebriche?
In $RR^4$ sono assegnati i vettori
$v_1=(0,-2,2,6), v_2=(1,1,3,4), v_3=(2,2,0,-4); g(v_1)=(3k^2,-1,1,0), g(v_2)=(5k^2,5,3,-4), g(v_3)=(k,1,3,4); V=L(v_1,v_2,v_3)$.
Determinare quel valore di $k inn RR$ per il quale la corrispondenza g definisce un endomorfismo su V.
Per tale valore di k, sia $f: RR^4->RR^4$ l'endomorfismo tale che$f|_v=g, f(e_4)=(0,0,0,h)$, dove $h inn RR$. Studiare l'endomorfismo f, determinando il ker f ed im f.
http://hosting05.imagecross.com/image-h ... ne0012.jpg
Dunque $V={(x,y,z,t) inn RR^4|x+y-2z+t=0}$
$g(v_1) in V -> 3k^2-1-3=0 ->k=-1, +1$
$g(v_2) in V -> 5k^2+5-6-4=0 -> k=-1, +1$
$g(v_3) in V -> k+1-6+4=0 ->k=1 $
Dunque g definisce un endomorfismo su V se e solo se k=+1.
Sia $C={v_1,v_2,v_3,e_4}$ una base di $RR^4$ contenente la base B di V.
Adesso mi chiedo: c'è un modo veloce per calcolarsi le componenti di $f(v_1),f(v_2), f(v_3), f(e_4)$ rispetto a C?
Ve lo chiedo perché come procedo io è troppo dispendioso in termini di tempo... ovvero facendo così:
$f(v_1)=av_1+bv_2+cv_3+de_4$
Per ricavarsi a, b, c, d vengono sistemi troppo lunghi e ci vuole tempo se devo iterare lo stesso procedimento anche per $f(v_2), f(v_3), f(e_4)$. Forse mi sfugge qualcosa...
Anyway, continuamo l'esercizio. Note le componenti di $f(v_1),f(v_2), f(v_3), f(e_4)$ rispetto a C mi scrivo la matrice associata all'applicazione f rispetto alle basi canoniche di $RR^4$:
$M=((2,0,0,0),(-1,1,1,0),(2,2,0,0),(0,0,0,h))$ il cui determinante è $-4h$.
Dunque: se h=0, dim Im f=3, quindi Im f=V (poiché le colonne della matrice generano Im f ed essendo tre vettori lin. indipendenti di V).
$dim ker f=1$ dalla relazione di Grassmann. Ora mi chiedo come si giunge alla conclusione che $ker f=L(e_4)$?
Per h diverso da zero è facile dimostrare che f è un isomorfismo.
Grazie a chi mi darà una mano a capire..
Chi mi darebbe una mano con questo esercizio che svela un frazione delle mie incertezze algebriche?
In $RR^4$ sono assegnati i vettori
$v_1=(0,-2,2,6), v_2=(1,1,3,4), v_3=(2,2,0,-4); g(v_1)=(3k^2,-1,1,0), g(v_2)=(5k^2,5,3,-4), g(v_3)=(k,1,3,4); V=L(v_1,v_2,v_3)$.
Determinare quel valore di $k inn RR$ per il quale la corrispondenza g definisce un endomorfismo su V.
Per tale valore di k, sia $f: RR^4->RR^4$ l'endomorfismo tale che$f|_v=g, f(e_4)=(0,0,0,h)$, dove $h inn RR$. Studiare l'endomorfismo f, determinando il ker f ed im f.
http://hosting05.imagecross.com/image-h ... ne0012.jpg
Dunque $V={(x,y,z,t) inn RR^4|x+y-2z+t=0}$
$g(v_1) in V -> 3k^2-1-3=0 ->k=-1, +1$
$g(v_2) in V -> 5k^2+5-6-4=0 -> k=-1, +1$
$g(v_3) in V -> k+1-6+4=0 ->k=1 $
Dunque g definisce un endomorfismo su V se e solo se k=+1.
Sia $C={v_1,v_2,v_3,e_4}$ una base di $RR^4$ contenente la base B di V.
Adesso mi chiedo: c'è un modo veloce per calcolarsi le componenti di $f(v_1),f(v_2), f(v_3), f(e_4)$ rispetto a C?
Ve lo chiedo perché come procedo io è troppo dispendioso in termini di tempo... ovvero facendo così:
$f(v_1)=av_1+bv_2+cv_3+de_4$
Per ricavarsi a, b, c, d vengono sistemi troppo lunghi e ci vuole tempo se devo iterare lo stesso procedimento anche per $f(v_2), f(v_3), f(e_4)$. Forse mi sfugge qualcosa...
Anyway, continuamo l'esercizio. Note le componenti di $f(v_1),f(v_2), f(v_3), f(e_4)$ rispetto a C mi scrivo la matrice associata all'applicazione f rispetto alle basi canoniche di $RR^4$:
$M=((2,0,0,0),(-1,1,1,0),(2,2,0,0),(0,0,0,h))$ il cui determinante è $-4h$.
Dunque: se h=0, dim Im f=3, quindi Im f=V (poiché le colonne della matrice generano Im f ed essendo tre vettori lin. indipendenti di V).
$dim ker f=1$ dalla relazione di Grassmann. Ora mi chiedo come si giunge alla conclusione che $ker f=L(e_4)$?
Per h diverso da zero è facile dimostrare che f è un isomorfismo.
Grazie a chi mi darà una mano a capire..
Risposte
Up! Chiedo aiuto agli algebristi, anche per l'altro post. Non riesco a venirne fuori da questo problema...
pongo k=1
ricava l'endomorfismo rispetto alla base canonica quindi devi vedere dove vanno i vettori $e_1,e_2,e_3,e_4$ rispetto a f.
avrai quindi che ${(f(-2e_2+2e_3+6e_4)=3e_1-e_2+e_3),(f(e_1+e_2+3e_3+4e_4)=5e_1+5e_2+3e_3-4e_4),(f(2e_1+2e_2-4e_4)=e_1+e_2+3e_3+4e_4),(f(e_4)=he_4):}
usando la linearità ottieni un sistema in cui le incognite sono $f(e_1),f(e_2),f(e_3),f(e_4)$.
risolvi quindi l'allegro sistema e ottieni queste funzioni... sono solo contacci che li fai in 10 minuti buttando tutto dentro una matrice e riduci a scala (o se hai un computer in tasca ehehe)
se non ho sbagliato i conti risulta che ${(f(e_4)=(0,0,0,h)),(f(e_3)=(3 ,3 ,1, -4)-4f(e_4)),(f(e_2)=(3,-1,1,0)-2f(e_3)-6f(e_4)),(f(e_1)=(2,2,2,0)-f(e_3)-f(e_2)):}
bene ora questa bella matrice che rappresenta l'endomorfismo nella base canonica la chiamiamo $M_b^b(f)$.
ricorda (ho scritto il teorema e la prima parte dell'esercizio in due momenti diversi e ovviamente ho invertito gli indici... stai attento a questo ):
sia $b={v_1,...v_n}$ una base per V spazio vettoriale di dimV=n, avrai che le coordinate di ogni vettore in un nuovo sistema di riferimento dato dalla base $c={w_1,...,w_n}$ saranno $M_c(v)=M_c^b(v)*M_b(v)$ cioè le vecchie coordiante composte con la matrice del cambio di base da $b$ a $c$.
quindi avremo che la matrice del cambio di base sarà $M_c^b(id)=[M_c(v_1),...,M_c(v_n)]
quindi avremmo che $M_b^b(F)=M_b^c(id)*M_c^c(F)*M_c^b(id)=(M_c^b(id))^-1*M_c^c(F)*M_c^b(id)$
questa formula è semplicemente una composizione di applicazioni alla fine
nota: in questo caso $b={e_1,...,e_4}$ e $c={v_1,v_2,v_3,e_4}
quindi la matrice del cambio di base sarà:
$M_b^c(id)=[(0,-2,2,6),(1,1,3,4),(2,2,0,-4),(0,0,0,1)]^T$ (ho messo la trasposta in quanto ho fatto copia e incolla)
questo perchè se la base di arrivo è quella canonica, allora è come riscrivere i vettori della base di partenza in funzione della base canonica, cioè sono loro stessi i coefficienti...
SPERO di aver messo bene tutti gli indici, che è una cosa facile da sbagliare ... se ci sono problemi dimmi
ricava l'endomorfismo rispetto alla base canonica quindi devi vedere dove vanno i vettori $e_1,e_2,e_3,e_4$ rispetto a f.
avrai quindi che ${(f(-2e_2+2e_3+6e_4)=3e_1-e_2+e_3),(f(e_1+e_2+3e_3+4e_4)=5e_1+5e_2+3e_3-4e_4),(f(2e_1+2e_2-4e_4)=e_1+e_2+3e_3+4e_4),(f(e_4)=he_4):}
usando la linearità ottieni un sistema in cui le incognite sono $f(e_1),f(e_2),f(e_3),f(e_4)$.
risolvi quindi l'allegro sistema e ottieni queste funzioni... sono solo contacci che li fai in 10 minuti buttando tutto dentro una matrice e riduci a scala (o se hai un computer in tasca ehehe)
se non ho sbagliato i conti risulta che ${(f(e_4)=(0,0,0,h)),(f(e_3)=(3 ,3 ,1, -4)-4f(e_4)),(f(e_2)=(3,-1,1,0)-2f(e_3)-6f(e_4)),(f(e_1)=(2,2,2,0)-f(e_3)-f(e_2)):}
bene ora questa bella matrice che rappresenta l'endomorfismo nella base canonica la chiamiamo $M_b^b(f)$.
ricorda (ho scritto il teorema e la prima parte dell'esercizio in due momenti diversi e ovviamente ho invertito gli indici... stai attento a questo ):
sia $b={v_1,...v_n}$ una base per V spazio vettoriale di dimV=n, avrai che le coordinate di ogni vettore in un nuovo sistema di riferimento dato dalla base $c={w_1,...,w_n}$ saranno $M_c(v)=M_c^b(v)*M_b(v)$ cioè le vecchie coordiante composte con la matrice del cambio di base da $b$ a $c$.
quindi avremo che la matrice del cambio di base sarà $M_c^b(id)=[M_c(v_1),...,M_c(v_n)]
quindi avremmo che $M_b^b(F)=M_b^c(id)*M_c^c(F)*M_c^b(id)=(M_c^b(id))^-1*M_c^c(F)*M_c^b(id)$
questa formula è semplicemente una composizione di applicazioni alla fine
nota: in questo caso $b={e_1,...,e_4}$ e $c={v_1,v_2,v_3,e_4}
quindi la matrice del cambio di base sarà:
$M_b^c(id)=[(0,-2,2,6),(1,1,3,4),(2,2,0,-4),(0,0,0,1)]^T$ (ho messo la trasposta in quanto ho fatto copia e incolla)
questo perchè se la base di arrivo è quella canonica, allora è come riscrivere i vettori della base di partenza in funzione della base canonica, cioè sono loro stessi i coefficienti...
SPERO di aver messo bene tutti gli indici, che è una cosa facile da sbagliare ... se ci sono problemi dimmi
$M=((2,0,0,0),(-1,1,1,0),(2,2,0,0),(0,0,0,h))$ il cui determinante è $-4h$.
Dunque: se h=0, dim Im f=3, quindi Im f=V (poiché le colonne della matrice generano Im f ed essendo tre vettori lin. indipendenti di V).
$dim ker f=1$ dalla relazione di Grassmann. Ora mi chiedo come si giunge alla conclusione che $ker f=L(e_4)$?
Per h diverso da zero è facile dimostrare che f è un isomorfismo.
Grazie a chi mi darà una mano a capire..
il ker è la soluzione dell'equazione $Mbarx=bar0$ (cioè gli autovalori nulli) quindi facendo il sistema ottieni tre equzioni a caso che generano uno spazio V e quindi non ti danno problemi, sono tutti in funzione di $e_4$ come soluzione... e l'ultima sarà $he_4=0$.
ora è facile vedere che le prime tre righe sono uguali a zero solo per le soluzioni banali. L'unica soluzione non banale nel sistema sarà in funzione di h, quindi $ker(f)=L(e_4)$.
oppure puoi vedere benissimo che $(0,0,0,h)$ è un autovettore con autovalore $lamda=h$. Quindi se $h=0$ abbiamo trovato l'autovalore nullo e quindi il ker, l'autovettore sarà l'autospazio ovvero del ker dell'applicazione. Come chiedevi.
spero di non aver scritto troppe cavolate in queste due risposte... a presto ciaoo!
Chiara l'ultima risposta...
Per la prima... beh fu^2 ho chiesto un modo più sbrigativo per ricavarsi le componenti di f(v1), f(v2), f(v3), f(e4) rispetto a C. A me vengono 4 sistemi lunghetti che mi fanno perdere tempo... per questo ho chiesto se mi sfuggiva qualcosa con la quale avrei potuto accelerare la risoluzione del sistema...
Per la prima... beh fu^2 ho chiesto un modo più sbrigativo per ricavarsi le componenti di f(v1), f(v2), f(v3), f(e4) rispetto a C. A me vengono 4 sistemi lunghetti che mi fanno perdere tempo... per questo ho chiesto se mi sfuggiva qualcosa con la quale avrei potuto accelerare la risoluzione del sistema...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
