Endomorfismi
Ciao a tutti 
Avrei bisogno di una mano con il seguente esercizio:
Sia $V$ uno spazio vettoriale sul campo $\mathbb{K}$, $f$ e $g$ endomorfismi di $V$ tali che $f+g=id_{V}$ e $fg=gf=0$.
Si verifichi che:
i) $f^2=f$, $g^2=g$;
ii) $V=Imf \oplus Img$;
iii) $f$ è diagonalizzabile se e solo se $g$ è diagonalizzabile, supposto che $V$ abbia dimensione finita. Se $f$ e $g$ sono diagonalizzabili, allora si precisi la relazione tra gli autovalori di $f$ e quelli di $g$ e si mostri con esempi che $f$ e $g$ possono avere gli stessi autovalori e possono essere privi di autovalori comuni.
Non ho avuto problemi a dimostrare il punto i) e ii). Per il punto iii) avevo pensato alla seguente relazione:
$\lambda$ autovalore per $g$ $\leftrightarrow$ $g(x)=\lambda x$ $\leftrightarrow$ $g(x)=(\lambda -1)x + x$ $\leftrightarrow$ $g(x)-x=(\lambda -1)x$ $\leftrightarrow$ $f(x)=(1-\lambda)x$.
Quindi
$\lambda$ autovalore per $g$ $\leftrightarrow$ $1 - \lambda$ autovalore per $f$.
Basta questo per rispondere completamente al punto iii)? Se $g$ ha autovalori distinti allora anche $f$, e quindi sono entrambi diagonalizzabili, altrimenti?
Avrei bisogno di una mano con il seguente esercizio:
Sia $V$ uno spazio vettoriale sul campo $\mathbb{K}$, $f$ e $g$ endomorfismi di $V$ tali che $f+g=id_{V}$ e $fg=gf=0$.
Si verifichi che:
i) $f^2=f$, $g^2=g$;
ii) $V=Imf \oplus Img$;
iii) $f$ è diagonalizzabile se e solo se $g$ è diagonalizzabile, supposto che $V$ abbia dimensione finita. Se $f$ e $g$ sono diagonalizzabili, allora si precisi la relazione tra gli autovalori di $f$ e quelli di $g$ e si mostri con esempi che $f$ e $g$ possono avere gli stessi autovalori e possono essere privi di autovalori comuni.
Non ho avuto problemi a dimostrare il punto i) e ii). Per il punto iii) avevo pensato alla seguente relazione:
$\lambda$ autovalore per $g$ $\leftrightarrow$ $g(x)=\lambda x$ $\leftrightarrow$ $g(x)=(\lambda -1)x + x$ $\leftrightarrow$ $g(x)-x=(\lambda -1)x$ $\leftrightarrow$ $f(x)=(1-\lambda)x$.
Quindi
$\lambda$ autovalore per $g$ $\leftrightarrow$ $1 - \lambda$ autovalore per $f$.
Basta questo per rispondere completamente al punto iii)? Se $g$ ha autovalori distinti allora anche $f$, e quindi sono entrambi diagonalizzabili, altrimenti?
Risposte
"pierlurizzo91":
Basta questo per rispondere completamente al punto iii)?
No, non basta. Tuttavia, essendo gli endomorfismi $f$ e $g$ idempotenti, sono diagonalizzabili a prescindere.
E come posso rispondere in maniera completa all'esercizio? Soprattutto, come faccio a dimostrare che un endomorfismo idempotente è semplice?
In alcuni manuali potresti trovarlo come teorema. Ad ogni modo, ho trovato un esercizio che tratta l'argomento:
Grazie! 
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