Endomorfismi
Avrei bisogno di una mano a risolvere questo esercizio.
Sia L un sottospazio vettoriale di C2. Denotiamo con End(C2) lo spazio vettoriale (complesso) degli endomor smi di C2, e poniamo
H := {g \(\displaystyle \in \)End(C2) | g(L) \(\displaystyle \subseteq\) L}:
1. Mostrare che H e un sottospazio vettoriale di End(C2).
2. Posto L = L((1; i)), determinare la dimensione e una base di H.
3. Determinare la dimensione di H quando L e un arbitrario sottospazio vettoriale di dimensione 1.
Grazie mille in anticipo
Sia L un sottospazio vettoriale di C2. Denotiamo con End(C2) lo spazio vettoriale (complesso) degli endomor smi di C2, e poniamo
H := {g \(\displaystyle \in \)End(C2) | g(L) \(\displaystyle \subseteq\) L}:
1. Mostrare che H e un sottospazio vettoriale di End(C2).
2. Posto L = L((1; i)), determinare la dimensione e una base di H.
3. Determinare la dimensione di H quando L e un arbitrario sottospazio vettoriale di dimensione 1.
Grazie mille in anticipo
Risposte
Tu come lo faresti? Che perplessita' hai?
Nel punto \( 2 \) non capisco:
\[ L := \{ \lambda \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ i \end{bmatrix} \; , \; \forall \lambda \in \mathbb{C} \} \, , \]
giusto?
Be', per il primo punto ti basta mostrare che
\[ \alpha \cdot g_1 + \beta \cdot g_2 \in H \qquad \forall g_1, g_2 \in H , \, \forall \alpha, \beta \in \mathbb{C} \]
--il che e' abbastanza immediato dal fatto che \( L \) sia `chiuso'.
Mi pare che poi se \( L \) e' costituito da tutti i multipli di \( \begin{bmatrix} 1 \\ i \end{bmatrix} \) le uniche applicazioni che agiscono sui \( \vec{ \mathcal{l} } \in L \) facendoti rimanere in \( L \) sono solo quelle che allungano o accorciano il vettore; il che permetterebbe anche alla semplice applicazione \( \operatorname{id}_{ \mathbb{C}^2 } \) di essere una base per il \( \mathbb{C} \)-spazio \( H \). Non trovi?
Nel punto \( 2 \) non capisco:
\[ L := \{ \lambda \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ i \end{bmatrix} \; , \; \forall \lambda \in \mathbb{C} \} \, , \]
giusto?
Be', per il primo punto ti basta mostrare che
\[ \alpha \cdot g_1 + \beta \cdot g_2 \in H \qquad \forall g_1, g_2 \in H , \, \forall \alpha, \beta \in \mathbb{C} \]
--il che e' abbastanza immediato dal fatto che \( L \) sia `chiuso'.
Mi pare che poi se \( L \) e' costituito da tutti i multipli di \( \begin{bmatrix} 1 \\ i \end{bmatrix} \) le uniche applicazioni che agiscono sui \( \vec{ \mathcal{l} } \in L \) facendoti rimanere in \( L \) sono solo quelle che allungano o accorciano il vettore; il che permetterebbe anche alla semplice applicazione \( \operatorname{id}_{ \mathbb{C}^2 } \) di essere una base per il \( \mathbb{C} \)-spazio \( H \). Non trovi?
si, scusa nel punto due volevo scrivere che L è generato da (1;i)
Le mie perplessità sono sui punti due e tre.
Mi sono detta: H è formato da tutti gli endomorfismi della forma g( \(\displaystyle\lambda \)(1;i) = (\(\displaystyle \mu \)(1,i)
quindi una sua base è proprio (1;i)
Non riesco a capire come fa a dire che la base è la medesima, anche se L è un sottospazio di dimensione 1. Ovvero, in questo caso, H contiene tutti gli endomorfismi che vanno da C2 in C2, ma che mandano ad esempio g( \(\displaystyle\lambda \)i) = (\(\displaystyle \mu \)(i)
Grazie mille per avermi risposto così velocemente
Le mie perplessità sono sui punti due e tre.
Mi sono detta: H è formato da tutti gli endomorfismi della forma g( \(\displaystyle\lambda \)(1;i) = (\(\displaystyle \mu \)(1,i)
quindi una sua base è proprio (1;i)
Non riesco a capire come fa a dire che la base è la medesima, anche se L è un sottospazio di dimensione 1. Ovvero, in questo caso, H contiene tutti gli endomorfismi che vanno da C2 in C2, ma che mandano ad esempio g( \(\displaystyle\lambda \)i) = (\(\displaystyle \mu \)(i)
Grazie mille per avermi risposto così velocemente
"Soha":
Le mie perplessità sono sui punti due e tre.
Nella risposta di prima forse ho gia' abbozzato qualcosa al riguardo.
"Soha":
Mi sono detta: \( H \) è formato da tutti gli endomorfismi della forma
\[ g ( \lambda \begin{bmatrix} 1 \\ i \end{bmatrix} ) = \mu \begin{bmatrix} 1 \\ i \end{bmatrix} \]
quindi una sua base è proprio
\[ \begin{bmatrix} 1 \\ i \end{bmatrix} \]
No. \( H \) e' un ambiente popolato da endomorfismi. Una sua base dev'essere un insieme di operatori di \( \mathbb{C}^2 \).
"Soha":
Non riesco a capire come fa a dire che la base è la medesima, anche se \( L \) è un sottospazio di dimensione \( 1 \).
Guarda che lo spazio
\[ L := \langle \begin{bmatrix} 1 \\ i \end{bmatrix} \rangle \]
e' gia' uno spazio di dimensione \( 1 \), per esempio.
"Soha":
Ovvero, in questo caso, \( H \) contiene tutti gli endomorfismi che vanno da \( \mathbb{C}^2 \) in \( \mathbb{C}^2 \), ma che mandano ad esempio
\[ g (\lambda i) = \mu i \]
No! In tal caso \( g \) non sarebbe un operatore di \( \mathbb{C}^2 \) dato che gli dai da mangiare un numero complesso (e non un vettore bidimensionale).
"Soha":
Grazie mille per avermi risposto così velocemente
Prego
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo