Ellisse nel piano affine reale
Vorrei sapere quanti punti sono sufficienti e necessari per determinare l'equazione di una generica ellisse (anche ruotata, eventualmente) nel piano affine reale, imponendo il passaggio per gli stessi. Ho provato a spulciare il Sernesi e a buttare giù qualcosa, ma non ho trovato niente di rilevante.
Sono partito dalla generica equazione di una conica $ax^2+by^2+cx+dy+exy+f=0$, ho espresso il tutto in forma matriciale e ho considerato la generica rotazione data da $((cosalpha,-sinalpha),(sinalpha,cosalpha))$, ma niente da fare.
Qualche suggerimento?
EDIT: ho trovato la formula qui: http://en.wikipedia.org/wiki/Ellipse, nel paragrafo "In analytic geometry". Non c'è pero traccia della dimostrazione; qualche idea?
Sono partito dalla generica equazione di una conica $ax^2+by^2+cx+dy+exy+f=0$, ho espresso il tutto in forma matriciale e ho considerato la generica rotazione data da $((cosalpha,-sinalpha),(sinalpha,cosalpha))$, ma niente da fare.
Qualche suggerimento?
EDIT: ho trovato la formula qui: http://en.wikipedia.org/wiki/Ellipse, nel paragrafo "In analytic geometry". Non c'è pero traccia della dimostrazione; qualche idea?
Risposte
data l'equzione generica di una conica, fissati 5 punti ottieni un sistema lineare nei cinque parametri. Scelti in maniera che le equazioni siano linearmente indipendenti tra loro ottieni una conica. Inoltre la scelta dei punti è subordinata al fatto che la matrice 2x2 associata alla conica abbia determinante positivo. Scelto quello hai ottenuto la generica ellisse.
Scusa, ma non ti seguo.
L'equazione di una generica conica è $ax^2+by^2+cx+dy+exy+f=0$, quindi ci sono 6 parametri
L'equazione di una generica conica è $ax^2+by^2+cx+dy+exy+f=0$, quindi ci sono 6 parametri
si, ho digitato per sbalio il tasto accanto senza accorgermene, ma il succo del discorso non cambia.
Il minimo numero di punti per determinare una conica è il minimo numero di punti del piano per cui puoi esplicare i cinque parametri.
quindi se consideri il sistema $ax_i^2+by_i^2+cx_i+dy_i+ex_iy_i+f=0,i=1,...,6$ con $(x_i,y_i)$ fissati ottieni un sistema lineare da cui puoi ricavare i 6 parametri. Ovviamente non puoi scegliere a caso i punti: La condizione principale - se il sistema è consistente - che devono soddisfare i parametri affinchè la conica trovata sia un'ellisse è che il determinante della matrice 2x2 associato alla parte omogenea di grado due della conica reale sia positivo.
quindi dati i punti di passaggio definisci una conica, poi devi verificare che sia un'ellisse.
Oppure puoi definire 5 parametri e il sesto lo definisci in funzione del risultato che deve assumere il determinante (o fissi a priori 4 punti e gli altri due li metti in funzione del risultato del determinante).
quadra di più?
Il minimo numero di punti per determinare una conica è il minimo numero di punti del piano per cui puoi esplicare i cinque parametri.
quindi se consideri il sistema $ax_i^2+by_i^2+cx_i+dy_i+ex_iy_i+f=0,i=1,...,6$ con $(x_i,y_i)$ fissati ottieni un sistema lineare da cui puoi ricavare i 6 parametri. Ovviamente non puoi scegliere a caso i punti: La condizione principale - se il sistema è consistente - che devono soddisfare i parametri affinchè la conica trovata sia un'ellisse è che il determinante della matrice 2x2 associato alla parte omogenea di grado due della conica reale sia positivo.
quindi dati i punti di passaggio definisci una conica, poi devi verificare che sia un'ellisse.
Oppure puoi definire 5 parametri e il sesto lo definisci in funzione del risultato che deve assumere il determinante (o fissi a priori 4 punti e gli altri due li metti in funzione del risultato del determinante).
quadra di più?
Ok, adesso torna. Grazie per l'aiuto.
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