Eliminazione di Gauss in presenza di incognite
Salve a tutti, sono un nuovo iscritto, spero di non fare errori nello scrivere questo thread
.
Il mio problema è che ho difficoltà nella riduzione di alcune matrici di coefficienti nelle quali compaiono delle variabili. Esempio:
$|(1,-2,1,2-k),(1,-1,3,1),(0,1,k,1),(-1,k+1,1,1)|$
Procedo: alla seconda riga sottraggo la prima = $|(1,-2,1,2-k),(0,1,2,k-1),(0,1,k,1),(-1,k+1,1,1)|$
alla terza riga sottraggo la seconda = $|(1,-2,1,2-k),(0,1,2,k-1),(0,0,k-2,2-k),(-1,k+1,1,1)|$
e poi che si fa? La quarta riga presenta la variabile "k" in posto 4,2 e non posso eliminarlo in nessun modo poiché, se non ricordo male, non posso moltiplicare/dividere le altre righe per k per poi sommarle... Al limite posso scambiare la seconda e la quarta riga: $|(1,-2,1,2-k),(-1,k+1,1,1),(0,0,k-2,2-k),(0,1,2,k-1)|$ e poi cardinalizzare la seconda, sommandola alla prima: $|(1,-2,1,2-k),(0,k-1,2,3-k),(0,0,k-2,2-k),(0,1,2,k-1)|$
E qui non so come andare avanti... nonostante gli sforzi, non riesco a cardinalizzare l'ultima riga, in nessun modo. Qualcuno di voi ha idee più brillanti delle mie?
Altro esempio (con vettore colonna dei termini noti):
$|(1,0,k),(1,-1,-1),(1,k,k),(1,1,2k+1)|$ $|(k),(k),(-1),(-1)|$
Procedo con l'eliminazione di Gauss: terza riga al posto della seconda = $|(1,0,k),(1,k,k),(1,-1,-1),(1,1,2k+1)|$ $|(k),(-1),(k),(-1)|$
faccio la differenza tra seconda e prima riga = $|(1,0,k),(0,k,0),(1,-1,-1),(1,1,2k+1)|$ $|(k),(-1-k),(k),(-1)|$
e poi non so come andare oltre, ogni tentativo che ho fatto mi ha portato ad avere k in posti non convenienti e a non risolvere il sistema.
Mille grazie a chiunque perderà il proprio tempo per aiutarmi.
Saluti

Il mio problema è che ho difficoltà nella riduzione di alcune matrici di coefficienti nelle quali compaiono delle variabili. Esempio:
$|(1,-2,1,2-k),(1,-1,3,1),(0,1,k,1),(-1,k+1,1,1)|$
Procedo: alla seconda riga sottraggo la prima = $|(1,-2,1,2-k),(0,1,2,k-1),(0,1,k,1),(-1,k+1,1,1)|$
alla terza riga sottraggo la seconda = $|(1,-2,1,2-k),(0,1,2,k-1),(0,0,k-2,2-k),(-1,k+1,1,1)|$
e poi che si fa? La quarta riga presenta la variabile "k" in posto 4,2 e non posso eliminarlo in nessun modo poiché, se non ricordo male, non posso moltiplicare/dividere le altre righe per k per poi sommarle... Al limite posso scambiare la seconda e la quarta riga: $|(1,-2,1,2-k),(-1,k+1,1,1),(0,0,k-2,2-k),(0,1,2,k-1)|$ e poi cardinalizzare la seconda, sommandola alla prima: $|(1,-2,1,2-k),(0,k-1,2,3-k),(0,0,k-2,2-k),(0,1,2,k-1)|$
E qui non so come andare avanti... nonostante gli sforzi, non riesco a cardinalizzare l'ultima riga, in nessun modo. Qualcuno di voi ha idee più brillanti delle mie?
Altro esempio (con vettore colonna dei termini noti):
$|(1,0,k),(1,-1,-1),(1,k,k),(1,1,2k+1)|$ $|(k),(k),(-1),(-1)|$
Procedo con l'eliminazione di Gauss: terza riga al posto della seconda = $|(1,0,k),(1,k,k),(1,-1,-1),(1,1,2k+1)|$ $|(k),(-1),(k),(-1)|$
faccio la differenza tra seconda e prima riga = $|(1,0,k),(0,k,0),(1,-1,-1),(1,1,2k+1)|$ $|(k),(-1-k),(k),(-1)|$
e poi non so come andare oltre, ogni tentativo che ho fatto mi ha portato ad avere k in posti non convenienti e a non risolvere il sistema.
Mille grazie a chiunque perderà il proprio tempo per aiutarmi.
Saluti
Risposte
Puoi dividere per $k$ ma devi imporre che sia $k\ne 0$. Moltiplicare invece per $k$ ha sempre senso.
Quando per esempio trovi un [tex]k[/tex] e devi dividere allora poni [tex]k\ne 0[/tex] e vai avanti nella risoluzione.
Vediamo di vedere come farlo...
[tex]\det(M) = -(k-2)^2 (k+3)[/tex]
[tex]\left( \begin{array}{cccc} 1 & -2 & 1 & 2-k \\ 1 & -1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & k & 1 \\ -1 & k+1 & 1 & 1\end{array} \right)[/tex]
Qui il passaggio è ovvio.
[tex]\left( \begin{array}{cccc} 1 & -2 & 1 & 2-k \\ 0 & -1+2 & 3-1 & 1-2+k \\ 0 & 1 & k & 1 \\ 0 & k+1-2 & 1+1 & 1+2-k\end{array} \right) = \left( \begin{array}{cccc} 1 & -2 & 1 & 2-k \\ 0 & 1 & 2 & k-1 \\ 0 & 1 & k & 1 \\ 0 & k-1 & 2 & 3-k\end{array} \right)[/tex]
Qui devi moltiplicare la seconda riga per [tex]k-1[/tex] e sottrarre il risultato alla quarta. Siccome moltiplicare non dà problemi si fa tranquillamente.
[tex]\left( \begin{array}{cccc} 1 & -2 & 1 & 2-k \\ 0 & 1 & 2 & k-1 \\ 0 & 0 & k-2 & 1-k+1 \\ 0 & 0 & 2 -2(k-1) & 3-k - (k-1)^2\end{array} \right) =\left( \begin{array}{cccc} 1 & -2 & 1 & 2-k \\ 0 & 1 & 2 & k-1 \\ 0 & 0 & k-2 & -(k-2) \\ 0 & 0 & -2(k - 2) & -(k-2)(k+1)\end{array} \right)[/tex]
Ora come puoi notare è necessario imporre [tex]k\ne 2[/tex] (come già visto dal determinante). D'altra parte non devi moltiplicare ne dividere per [tex]k[/tex].
[tex]\left( \begin{array}{cccc} 1 & -2 & 1 & 2-k \\ 0 & 1 & 2 & k-1 \\ 0 & 0 & k-2 & -(k-2) \\ 0 & 0 & 0 & -(k-2)(k+1) - 2(k-2)\end{array} \right) = \left( \begin{array}{cccc} 1 & -2 & 1 & 2-k \\ 0 & 1 & 2 & k-1 \\ 0 & 0 & k-2 & -(k-2) \\ 0 & 0 & 0 & -(k-2)(k+3)\end{array} \right)[/tex]
E considerando che il determinante torna immagino di non avere fatto errori. Per la risoluzione del sistema ora devi porre [tex]k\ne 2[/tex] (già fatto) e [tex]k\ne -3[/tex].
Quando per esempio trovi un [tex]k[/tex] e devi dividere allora poni [tex]k\ne 0[/tex] e vai avanti nella risoluzione.
Vediamo di vedere come farlo...
[tex]\det(M) = -(k-2)^2 (k+3)[/tex]
[tex]\left( \begin{array}{cccc} 1 & -2 & 1 & 2-k \\ 1 & -1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & k & 1 \\ -1 & k+1 & 1 & 1\end{array} \right)[/tex]
Qui il passaggio è ovvio.
[tex]\left( \begin{array}{cccc} 1 & -2 & 1 & 2-k \\ 0 & -1+2 & 3-1 & 1-2+k \\ 0 & 1 & k & 1 \\ 0 & k+1-2 & 1+1 & 1+2-k\end{array} \right) = \left( \begin{array}{cccc} 1 & -2 & 1 & 2-k \\ 0 & 1 & 2 & k-1 \\ 0 & 1 & k & 1 \\ 0 & k-1 & 2 & 3-k\end{array} \right)[/tex]
Qui devi moltiplicare la seconda riga per [tex]k-1[/tex] e sottrarre il risultato alla quarta. Siccome moltiplicare non dà problemi si fa tranquillamente.
[tex]\left( \begin{array}{cccc} 1 & -2 & 1 & 2-k \\ 0 & 1 & 2 & k-1 \\ 0 & 0 & k-2 & 1-k+1 \\ 0 & 0 & 2 -2(k-1) & 3-k - (k-1)^2\end{array} \right) =\left( \begin{array}{cccc} 1 & -2 & 1 & 2-k \\ 0 & 1 & 2 & k-1 \\ 0 & 0 & k-2 & -(k-2) \\ 0 & 0 & -2(k - 2) & -(k-2)(k+1)\end{array} \right)[/tex]
Ora come puoi notare è necessario imporre [tex]k\ne 2[/tex] (come già visto dal determinante). D'altra parte non devi moltiplicare ne dividere per [tex]k[/tex].
[tex]\left( \begin{array}{cccc} 1 & -2 & 1 & 2-k \\ 0 & 1 & 2 & k-1 \\ 0 & 0 & k-2 & -(k-2) \\ 0 & 0 & 0 & -(k-2)(k+1) - 2(k-2)\end{array} \right) = \left( \begin{array}{cccc} 1 & -2 & 1 & 2-k \\ 0 & 1 & 2 & k-1 \\ 0 & 0 & k-2 & -(k-2) \\ 0 & 0 & 0 & -(k-2)(k+3)\end{array} \right)[/tex]
E considerando che il determinante torna immagino di non avere fatto errori. Per la risoluzione del sistema ora devi porre [tex]k\ne 2[/tex] (già fatto) e [tex]k\ne -3[/tex].
Per concludere se avessi voluto fare la fattorizzazione LU avresti che:
[tex]\left( \begin{array}{cccc} 1 & -2 & 1 & 2-k \\ 1 & -1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & k & 1 \\ -1 & k+1 & 1 & 1\end{array} \right) = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ -1 & k-1 & -2 & 1\end{array} \right) \left( \begin{array}{cccc} 1 & -2 & 1 & 2-k \\ 0 & 1 & 2 & k-1 \\ 0 & 0 & k-2 & -(k-2) \\ 0 & 0 & 0 & -(k-2)(k+3)\end{array} \right)[/tex]
Sempre che non abbia sbagliato i calcoli...
Con la decomposizione LU puoi risolvere facilmente ogni sistema [tex]M\mathbf{x} = LU\mathbf{x} = \mathbf{b}[/tex] (eventualmente considerando gli scambi delle righe).
Altrimenti devi applicare le trasformazioni anche a [tex]\mathbf{b}[/tex]
[tex]\left( \begin{array}{cccc} 1 & -2 & 1 & 2-k \\ 1 & -1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & k & 1 \\ -1 & k+1 & 1 & 1\end{array} \right) = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ -1 & k-1 & -2 & 1\end{array} \right) \left( \begin{array}{cccc} 1 & -2 & 1 & 2-k \\ 0 & 1 & 2 & k-1 \\ 0 & 0 & k-2 & -(k-2) \\ 0 & 0 & 0 & -(k-2)(k+3)\end{array} \right)[/tex]
Sempre che non abbia sbagliato i calcoli...

Altrimenti devi applicare le trasformazioni anche a [tex]\mathbf{b}[/tex]
Ti ringrazio, Vict85!
In effetti i miei ricordi erano un po' appannati, grazie al tuo aiuto mi sono ricordato che è meglio pivotare una colonna alla volta e che è possibile dividere per la variabile (chiaramente dichiarandola diversa da 0), mentre invece, non so per quale motivo, ero convinto che fosse assolutamente vietato.
Infatti ho riprovato a triangolarizzare la seconda matrice di cui avevo parlato nel primo post, e sono giunto rapidamente alla conclusione:
$|(1,0,k),(1,-1,-1),(1,k,k),(1,1,2k+1)|$
Sottraggo alla seconda, terza e quarta riga la prima = $|(1,0,k),(0,-1,-1-k),(0,k,0),(0,1,k+1)|$
poi scambio seconda e terza riga e sommo la quarta alla terza = $|(1,0,k),(0,k,0),(0,-1,-1-k),(0,0,0)|$
infine divido la seconda per $k$ e sommo la terza con la seconda = $|(1,0,k),(0,k,0),(0,0,-1-k),(0,0,0)|$
e così dovrei essere giunto al risultato.
Grazie ancora per l'aiuto!
In effetti i miei ricordi erano un po' appannati, grazie al tuo aiuto mi sono ricordato che è meglio pivotare una colonna alla volta e che è possibile dividere per la variabile (chiaramente dichiarandola diversa da 0), mentre invece, non so per quale motivo, ero convinto che fosse assolutamente vietato.
Infatti ho riprovato a triangolarizzare la seconda matrice di cui avevo parlato nel primo post, e sono giunto rapidamente alla conclusione:
$|(1,0,k),(1,-1,-1),(1,k,k),(1,1,2k+1)|$
Sottraggo alla seconda, terza e quarta riga la prima = $|(1,0,k),(0,-1,-1-k),(0,k,0),(0,1,k+1)|$
poi scambio seconda e terza riga e sommo la quarta alla terza = $|(1,0,k),(0,k,0),(0,-1,-1-k),(0,0,0)|$
infine divido la seconda per $k$ e sommo la terza con la seconda = $|(1,0,k),(0,k,0),(0,0,-1-k),(0,0,0)|$
e così dovrei essere giunto al risultato.
Grazie ancora per l'aiuto!
Non avevi bisogno di scambiare la seconda e la terza riga. Per il resto va bene.