Elemento inverso
Ciao,stavo guardandomi la definizione di "Campo" $ K $ in cui si dice che $ R^2 $ non è un campo in quanto vi sono elementi che non possiedono l'inverso.
ora per $ R^2 $ i suoi elementi sono vettori bidimensionali ...
1)come faccio a stabilire per un vettore se possiede o meno l'inverso?
se si parla di inverso rispetto al prodotto in genere si trova la seguente condizione:
$ a*a^-1=a^-1*a=1 $
ora nel caso di $ R^2 $ $ 1->(1,1) $ giusto? cioè un vettore per il suo inverso deve dare il vettore le cui componenti sono tutte $ 1 $ ? è corretto?
2) per inverso associato alla definizione di campo si fa riferimento di esistenza dell'elemento inverso rispetto alla sola operazione "prodotto" $ * $ o anche deve esistere l'inverso associato all'operazione di somma $ + $ (che in genere si chiama opposto)?
grazie!
ora per $ R^2 $ i suoi elementi sono vettori bidimensionali ...
1)come faccio a stabilire per un vettore se possiede o meno l'inverso?
se si parla di inverso rispetto al prodotto in genere si trova la seguente condizione:
$ a*a^-1=a^-1*a=1 $
ora nel caso di $ R^2 $ $ 1->(1,1) $ giusto? cioè un vettore per il suo inverso deve dare il vettore le cui componenti sono tutte $ 1 $ ? è corretto?
2) per inverso associato alla definizione di campo si fa riferimento di esistenza dell'elemento inverso rispetto alla sola operazione "prodotto" $ * $ o anche deve esistere l'inverso associato all'operazione di somma $ + $ (che in genere si chiama opposto)?
grazie!
Risposte
"Sergio":
per quel poco che ne so.
Alla faccia
Concordo con tutto, ho solo una piccola segnalazione da fare
"Sergio":
Accroccare introducendo il prodotto vettoriale porterebbe ancora più lontano, perché si tratta di un'operazione non associativa né commutativa.
Il prodotto vettoriale non è definito su \(\mathbb{R}^2\)[nota]gli unici spazi vettoriali reali a dimensione finita sui quali è definito un prodotto interno "vettoriale" (dotato cioè di certe "buone" caratteristiche) sono \(\mathbb{R}\) stesso, \(\mathbb{R}^3\) ed \(\mathbb{R}^7\)[/nota]. Ciò non toglie che \(\mathbb{R}^2\) possa essere dotato della struttura di campo[nota]per la stessa ragione di prima, siamo in un caso (molto) fortunato. \(\mathbb{R}\) ed \(\mathbb{R}^2\) sono gli unici spazi vettoriali reali di dimensione finita che possono essere dotati della struttura di campo.[/nota] dotandolo del prodotto che vien fuori dalla sua identificazione canonica col campo complesso \(\mathbb{C}\).
@xshadow
Se vuoi l'esempio di un anello che non è un campo, prendi \((\mathbb{Z},+,\cdot)\).
"xshadow":
nel caso di $ R^2 $ $ 1->(1,1) $ giusto? cioè un vettore per il suo inverso deve dare il vettore le cui componenti sono tutte $ 1 $ ? è corretto?
Non è detto, dipende da come definisci il prodotto.
ho letto solo ora le risposte in quanto impossibilitato farlo prima.
comunque ho risolto i miei dubbi grazie alla vostre risposte, direi senz'altro esaustive.
Grazie!!.
comunque ho risolto i miei dubbi grazie alla vostre risposte, direi senz'altro esaustive.
Grazie!!.
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