Elemento di un sottospazio di minima distanza da un vettore?

[Zodiac1]

Salve ragazzi, stavo trovando alcune difficoltà con questo esercizio:
L'elemento di <(1,i),(i,1)> di minima distanza da (2,i) è?

per risolverlo ho posto \(\displaystyle \alpha \begin{pmatrix}
1\\ i

\end{pmatrix}+\beta \begin{pmatrix}
i\\ 1

\end{pmatrix}= \gamma \begin{pmatrix}
2\\ i

\end{pmatrix} \)
e di conseguenza risolvo tutto il sistema trovando dei valori, non so però se è questo il procedimento di farlo oppure sbaglio qualcosa

[vict85]

In che spazio vettoriale sei? \(\mathbb{C}^2\) come \(\mathbb{C}\)-spazio vettoriale?

[Zodiac1]

si esatto, sono in C^2

[vict85]

Siccome il sottospazio è generato da due elementi ci sono due possibilità: i due elementi sono linearmente indipendenti e quindi formano una base di \(\displaystyle \mathbb{C}^2 \) come \(\displaystyle \mathbb{C} \)-spazio vettoriale (se è visto come un \(\displaystyle \mathbb{R} \)-spazio vettoriale le cose cambiano) oppure sono linearmente dipendenti.

Nel primo caso il risultato è banale in quanto il vettore appartiene al sottospazio e quindi la soluzione è il vettore stesso. Nel secondo caso bisogna invece fare più calcoli.

Vediamo in che caso siamo:
\(\displaystyle \det \begin{pmatrix} 1 & i \\ i & 1 \end{pmatrix} = 1^2 - i^2 = 1 + 1 = 2 \)
quindi i vettori sono linearmente indipendenti e la soluzione è banalmente \(\displaystyle \begin{pmatrix}2 \\ i\end{pmatrix} \).

Tutto sommato mi sa che stavi interpretando \(\displaystyle \mathbb{C}^2 \) come \(\displaystyle \mathbb{R} \)-spazio vettoriale perché dubito che ti darebbero un problema così banale.

[Zodiac1]

Si la soluzione è proprio quella, nel caso invece i due vettori fossero stati dipendenti quali calcoli avrei dovuto fare?

[vict85]

In quel caso devi considerare la proiezione ortogonale del vettore nel sottospazio. Il calcolo è analogo al caso reale.