Elemento di lunghezza
Salve a tutti,
se ho una curva [tex]\alpha: I \dashrightarrow R^2[/tex] e ho la sua forma lunghezza ds tale che:
[tex]ds(\vec{v})=t\bullet \vec{v}[/tex] dove [tex]t[/tex] è il vettore tangente ad [tex]\alpha[/tex].
Dato che [tex]TpR^2=R^2[/tex] come posso scrivere questa forma differenziale come: [tex]ds=a(x,y)dx+b(x,y)dy[/tex]?
Perché mi interessa fare il pullback [tex]\alpha*[/tex] ma non so come sostituire, utilizzando la forma iniziale...
Se la vedo come [tex]ds=\sqrt{dx^2+dy^2}[/tex], è ancora una forma?
se ho una curva [tex]\alpha: I \dashrightarrow R^2[/tex] e ho la sua forma lunghezza ds tale che:
[tex]ds(\vec{v})=t\bullet \vec{v}[/tex] dove [tex]t[/tex] è il vettore tangente ad [tex]\alpha[/tex].
Dato che [tex]TpR^2=R^2[/tex] come posso scrivere questa forma differenziale come: [tex]ds=a(x,y)dx+b(x,y)dy[/tex]?
Perché mi interessa fare il pullback [tex]\alpha*[/tex] ma non so come sostituire, utilizzando la forma iniziale...
Se la vedo come [tex]ds=\sqrt{dx^2+dy^2}[/tex], è ancora una forma?
Risposte
Secondo me fai un po' di confusione. \(\displaystyle ds \) non possiede alcuna espressione del tipo \(\displaystyle adx+bdy \), né è uguale a \(\displaystyle \sqrt{dx^2 + dy^2} \). Insomma \(\displaystyle ds \) è una 1-forma, non una 2-forma.
La sua espressione è \(\displaystyle ds = \biggl\lVert \frac{d\alpha}{dt} \biggr\rVert dt = \sqrt{ \frac{d\alpha_1}{dt}^2 + \frac{d\alpha_2}{dt}^2 }dt \).
La sua espressione è \(\displaystyle ds = \biggl\lVert \frac{d\alpha}{dt} \biggr\rVert dt = \sqrt{ \frac{d\alpha_1}{dt}^2 + \frac{d\alpha_2}{dt}^2 }dt \).
Grazie per la risposta
1. l'ultima espressione che hai scritto mi sembra il pullback di ds attraverso la curva [tex]\alpha[/tex].
2. A me interessa passare dalla prima definizione di ds a quella che hai scritto tu....
1. l'ultima espressione che hai scritto mi sembra il pullback di ds attraverso la curva [tex]\alpha[/tex].
2. A me interessa passare dalla prima definizione di ds a quella che hai scritto tu....
Mi sa che ho frainteso la domanda confondendo l'elemento di linea con la lunghezza d'arco.
Comunque se con \(\bullet\) intendi il prodotto scalare di vettori allora \(\displaystyle ds(\mathbf{v}) = \biggl(\frac{d\alpha_1}{dt} g_{xx} + \frac{d\alpha_2}{dt} g_{yx}\biggr) dx + \biggl(\frac{d\alpha_2}{dt} g_{yy} + \frac{d\alpha_1}{dt} g_{xy}\biggr) dy\) supposto che \(\displaystyle \mathbf{v}\cdot\mathbf{w} = \mathbf{v}^T \begin{pmatrix} g_{xx} & g_{xy} \\ g_{yx} & g_{yy} \end{pmatrix}\mathbf{w} \).
Comunque se con \(\bullet\) intendi il prodotto scalare di vettori allora \(\displaystyle ds(\mathbf{v}) = \biggl(\frac{d\alpha_1}{dt} g_{xx} + \frac{d\alpha_2}{dt} g_{yx}\biggr) dx + \biggl(\frac{d\alpha_2}{dt} g_{yy} + \frac{d\alpha_1}{dt} g_{xy}\biggr) dy\) supposto che \(\displaystyle \mathbf{v}\cdot\mathbf{w} = \mathbf{v}^T \begin{pmatrix} g_{xx} & g_{xy} \\ g_{yx} & g_{yy} \end{pmatrix}\mathbf{w} \).
Comunque l'elemento di linea non è una forma differenziale in $\mathbb{R}^2$. Volendone dare una espressione a tutti i costi questa potrebbe essere $ds^2=dx^2+dy^2$, ma è un fatto più formale che altro. E comunque questa non è l'espressione di una forma differenziale. La cosa è spiegata molto bene sulle note di Bachman:
http://arxiv.org/abs/math.GT/0306194
pagina 105 (Lengths are very similar to areas... eccetera).
http://arxiv.org/abs/math.GT/0306194
pagina 105 (Lengths are very similar to areas... eccetera).
La risposta di vict85 mi convince, grazie.
Comunque, l'elemento di linea può essere considerato una forma differenziale, infatti esiste l'integrale su una curva in ds. (sono fatte per essere integrate)
Comunque, l'elemento di linea può essere considerato una forma differenziale, infatti esiste l'integrale su una curva in ds. (sono fatte per essere integrate)
"Ghio":
La risposta di vict85 mi convince, grazie.
Comunque, l'elemento di linea può essere considerato una forma differenziale, infatti esiste l'integrale su una curva in ds. (sono fatte per essere integrate)
No, ha ragione dissonance. Ha senso solo sull'immagine della curva. Al di fuori le funzioni che ho scritto non hanno alcun senso.
Si scusate, non é una forma su tutto [tex]R^2[/tex] ma é una forma...
"dissonance":
Comunque l'elemento di linea non è una forma differenziale in $\mathbb{R}^2$. Volendone dare una espressione a tutti i costi questa potrebbe essere $ds^2=dx^2+dy^2$, ma è un fatto più formale che altro. E comunque questa non è l'espressione di una forma differenziale. La cosa è spiegata molto bene sulle note di Bachman:
http://arxiv.org/abs/math.GT/0306194
pagina 105 (Lengths are very similar to areas... eccetera).
Ho guardato il testo e non mi convince troppo in quella parte. Mi sembra più che altro una sorta di gioco per non usare le varietà differenziabili. È certamente vero che tu stai costruendo una funzione che ad ogni punto di \(\displaystyle \mathbb{R}^2 \) associa una “forma”[nota]Non sono sicuro che usare il termine forma sia molto rigoroso.[/nota] non lineare da \(\displaystyle T_p\mathbb{R}^2\cong\mathbb{R}^2 \) in \(\displaystyle \mathbb{R} \) e immagino che per i fisici che vedono i \(\displaystyle dx \) come incrementi infinitesimi sia di aiuto, ma in generale è a mio avviso poco utile.
Insomma se tu vedi le cose in modo intrinseco allora non importa in che spazio \(\displaystyle \mathbb{R}^n \) o varietà tu ti immerga, la lunghezza della curva ha sempre la stessa formula. Ma se tu possiedi una \(\displaystyle ds \) nonlineare fatta apposta per \(\displaystyle \mathbb{R}^2 \) allora se la curva è in \(\displaystyle \mathbb{R}^3 \) devi trovarne una nuova. In alcuni casi forse è solo per non scrivere troppo.
Lo spazio tangente a una curva è di dimensione 1, quindi la scrittura con dx e dy non ha un granché di senso... effettivamente direi che s è una coordinata curvilinea usata per parametrizzare la curva in altro modo... Ma è un argomento di cui non trovo trattazioni rigorose, e mi perdo in continuazione.... Grazie dell'aiuto!
Avevo scritto una risposta alle osservazioni di vict ma vedo che e' andata persa per problemi di connessione. Grosso modo dicevo che sono d'accordo con le sue osservazioni, comunque. Aggiungo che quelle note sono un preprint quindi magari nell'edizione definitiva l'appendice che stiamo citando sara' stata ampliata. In ogni caso l'idea di fondo sara' sempre la stessa.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo