Eercizio algebra lineare
Salve a tutti.
Posto il testo dell'esercizio:
Sia $A\in GL_n(\mathbb{R})$. Discutere se la seguente condizione (*) è necessaria o rispettivamente sufficiente affinchè $A$ ed $A^-1$ siano simili:
(*) Esiste $r$ con $0\le r \le n$ tale che il polinomio caratteristico di $A$ è:
$$p_A(t)=(-1)^n(t-1)^r(t+1)^{n-r}$$.
Mio tentativo:
Condizione necessaria e sufficiente per la similitudine tra $A$ ed $A^-1$ è che esista $B\in GL_n(\mathbb{R})$ t.c.
$$A^{-1} = B^{-1}AB$$
Se $A$ ed $A^-1$ sono simili, si dimostra che i polinomi caratteristici di $A$ e di $A^-1$ sono uguali. Poiche' $A$ e' invertibile (altrimenti non parleremmo di $A^-1$), so che tutti gli autovalori di $A$ sono non nulli.
A questo punto so che gli autovalori di $A^-1$ sono tutti e soli gli inversi degli autovalori di $A$. (Si vede facendo proprio una verifica).
Ora, poiche' i polinomi caratteristici sono uguali e gli autovalori di una matrice sono i reciproci dell'altra, ottenngo che il polinomio caratteristico di $A$ deve rispettare (*).
Dunque la condizione e' necessaria.
Sto avendo problemi con la sufficienza. A occhio direi che (*) implica la similitudine fra $A$ ed $A^-1$. Questa e' la mia idea:
Se $A$ e' diagonalizzabile ed ha autovalori $\{1,-1\}$ (invertibile, naturalmente), allora e' idempotente. In questo caso, la forma di Jordan di $A$ e di $A^-1$ e' la stessa. Dunque sono simili.
Mi sembrerebbe che la cosa valga anche se $A$ non fosse diagonalizzabile, pero' non ne sono certo. Ad ogni modo si riesce sempre a concludere che gli autovalori di una sono gli inversi dell'altra. Sapendo che il polinomio caratteristico di $A$ e' quello in (*) se ne deduce che $A^-1$ abbia autovalori $\{1,-1\}$. Pero' non mi riesce di dire nulla sulla loro molteplicita', la quale mi permetterebbe di trarre conclusioni su una possibile forma di Jordan, la quale mi permetterebbe di dire (se il mio sospetto e' fondato) che $A$ e l'inversa hanno la stessa forma di Jordan, percio' sono simili.
Vorrei sapere, per favore, se ho messo giù qualche buona idea (magari), o avere anche solo un suggerimento per la soluzione.
Grazie in anticipo
Posto il testo dell'esercizio:
Sia $A\in GL_n(\mathbb{R})$. Discutere se la seguente condizione (*) è necessaria o rispettivamente sufficiente affinchè $A$ ed $A^-1$ siano simili:
(*) Esiste $r$ con $0\le r \le n$ tale che il polinomio caratteristico di $A$ è:
$$p_A(t)=(-1)^n(t-1)^r(t+1)^{n-r}$$.
Mio tentativo:
Condizione necessaria e sufficiente per la similitudine tra $A$ ed $A^-1$ è che esista $B\in GL_n(\mathbb{R})$ t.c.
$$A^{-1} = B^{-1}AB$$
Se $A$ ed $A^-1$ sono simili, si dimostra che i polinomi caratteristici di $A$ e di $A^-1$ sono uguali. Poiche' $A$ e' invertibile (altrimenti non parleremmo di $A^-1$), so che tutti gli autovalori di $A$ sono non nulli.
A questo punto so che gli autovalori di $A^-1$ sono tutti e soli gli inversi degli autovalori di $A$. (Si vede facendo proprio una verifica).
Ora, poiche' i polinomi caratteristici sono uguali e gli autovalori di una matrice sono i reciproci dell'altra, ottenngo che il polinomio caratteristico di $A$ deve rispettare (*).
Dunque la condizione e' necessaria.
Sto avendo problemi con la sufficienza. A occhio direi che (*) implica la similitudine fra $A$ ed $A^-1$. Questa e' la mia idea:
Se $A$ e' diagonalizzabile ed ha autovalori $\{1,-1\}$ (invertibile, naturalmente), allora e' idempotente. In questo caso, la forma di Jordan di $A$ e di $A^-1$ e' la stessa. Dunque sono simili.
Mi sembrerebbe che la cosa valga anche se $A$ non fosse diagonalizzabile, pero' non ne sono certo. Ad ogni modo si riesce sempre a concludere che gli autovalori di una sono gli inversi dell'altra. Sapendo che il polinomio caratteristico di $A$ e' quello in (*) se ne deduce che $A^-1$ abbia autovalori $\{1,-1\}$. Pero' non mi riesce di dire nulla sulla loro molteplicita', la quale mi permetterebbe di trarre conclusioni su una possibile forma di Jordan, la quale mi permetterebbe di dire (se il mio sospetto e' fondato) che $A$ e l'inversa hanno la stessa forma di Jordan, percio' sono simili.
Vorrei sapere, per favore, se ho messo giù qualche buona idea (magari), o avere anche solo un suggerimento per la soluzione.
Grazie in anticipo
Risposte
Gli autospazi non sono uguali? Non hanno dunque le stesse molteplicità geometriche? Dovrebbe essere anche $p_{A^{-1}}(x) = p_A(\frac{1}{x})$, giusto?
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