EERCIZI DI GEOMETRIA

[nikolasboy]

ciao a tutti,potrete aiutarmi a volgere questi esercizi,si tratta di un esame di geometria:
1)sia [e1,e2,e3] la base canonica di R3 e sia f:R3 --> R3 l'endomorfismo definito da:
f(e1)=e1+ke2+e3
f(e2)=e1+e2+(k-2)e3
f(e3)=e1+e2-2e3
dipendenti dal parametro reale k
determinare:
i)determinare la dimensione e una base dei sottospazi Kerf, Imf, Kerf + Imf, e kerf x Imf di R3 al variare di k
ii)Per quali valori di K il vettore f (1,3,-1) conincide con f ( 1,2,0)
iii)per quali valori di K il vettore (1,1,0) appartiene all'immagine di f?
iv)poto k=1 tabilire se il corrispondente endomorfismo f è diagonalizzabile ,e in caso affermtivo,determinare una base spettrale e la matrice associata a f rispetto a tale base.

[miuemia]

potresti scrivere il tuo svolgimento per vedere dove ti blocchi....
comunque la matrice $A$ nella base $e_1,e_2,e_3$ che rappresenta l'endomorfismo è:
$((1,1,1),(k,1,1),(1,k-2,-2))$

1) studi rango al variare di $k in RR$,
2)devi vedere per quali $k$ $A((1,3,-1))=A((1,2,0))$
3)devi trovare per quali $x,y,z in RR$ si ha $A((x,y,z))=((1,1,0))$
4)devi studiare il polinomio caratteristico e vedere le relative molteplicità...insomma uno studio classico di diagonalizzazione.

[nikolasboy]

con l matrice ed il rango non ci sn problemi infatti mi trovo due valori per k.
Solo nn ireaco a calcolare la bse e una dimenione dei sottospazi Kerf, Imf, Kerf + Imf, e kerf x Imf

[irenze]

una volta che sai il rango è facile!!!
$rango = dim Im f$
$3-rango = dim Ker f$
ecc.

se non mi ricordo male (ma sono ricordi antichi!) una base dell'immagine è data da colonne linearmente indipendenti della matrice associata all'endomorfismo (tante quante il suo rango, che è anche il numero massimo possibile di colonne linearmente indipendenti)

[nikolasboy]

qualkuno può iutarmi a volgere il primo punto???
x favore nn riesco proprio a volgere il primo punto