$ e^(At)=sum((A^kt^k)/(k!)) $

[francesco.android6]

Scusate, mi sapreste dire per quale motivo posso porre

$ e^(At)=sum((A^kt^k)/(k!)) $

con A matrice quadrata.


Grazie!!

[mgiaff]

Per definizione hai che, se $B$ è quadrata:
$ e^{B}= \sum_{k=0}^{\infty} (B^k)/(k!)$

Sia ora $B=At$. Hai che $B^k=(At)^k=A^k t^k$.
Sostituendo:
$ e^{At}=\sum_{k=0}^{\infty} (A^k t^k)/(k!) $

[francesco.android6]

Ma per definizione vuol dire che c'è una particolare serie che mi uguagli l'esponenziale di matrice oppure è un teorema generale ?

[mgiaff]

Vuol dire che la definizione di esponenziale di una matrice quadrata è quella lì, data da quella serie.
Forse, una buona domanda, sarebbe "quella serie converge sempre"? La risposta è sì, perché converge in norma. Si può anche mostrare che $e^(At)$ converge uniformemente su ogni compatto di $\mathbb{R}$, e tra le altre cose da questo segue che converge a una funzione continua.

[j18eos]

"francescojordan":...è un teorema generale ?

È un teorema generale, nel senso che su ogni gruppo di Lie \(G\) puoi definire una mappa \(\mathrm{exp}:\mathbb{R}\to G\) che mima la classica funzione esponenziale, definita implicitamente dal sistema di ODE seguente:\[\begin{cases}\dot x(t)=x(t)\\x(0)=1\end{cases}\] in \(\mathbb{R}\times\mathbb{R}\); te lo dico perché lo spazio delle matrici simmetriche è collegato al gruppo di Lie \((\mathrm{GL}(n;\mathbb{R}),\times)\); anzi, la mappa esponenziale di \(\mathrm{GL}(n;\mathbb{R})\) è esattamente quella che hai scritto!

Un accenno leggermente più esatto posso fornirtelo solo se hai delle conoscenze di base di geometria differenziale!

EDIT Corretto un cosidetto typo.

[francesco.android6]

wow! Grazie mille delle risposte! Gentilissimi...
Grazie j18eos ma era una mia curiosità prettamente ingegneristica e non penso di avere conoscenze di quel livello.. Grazie comunque..

[j18eos]

"francescojordan":...Grazie j18eos ma era una mia curiosità prettamente ingegneristica e non penso di avere conoscenze di quel livello...

Prego, di nulla!

P.S.: Comunque, non a tua ignoranza, non hai le conoscenze di base. [ot]Volendo essere ortografici, se sbaglio qualcun* mi corregga, si possono ripetere esattamente tre volte i "punti" quali "..." o "???" o "!!!"[/ot]

[francesco.android6]

per quanto possa essere di base è il problema fondamentale della matematica spiegata in facoltà che non siano di matematica...
purtroppo sentendo anche miei colleghi in giro per l'italia mi sembra che sia l'analisi che l'algebra lineare che la geometria siano spiegate in modo troppo specialistico. ovvero: si spiega ciò che servirà in altri corsi (es. Laplace per automatica e meccanica razionale, algebra lineare per sistemi etc.) .
d'altronde in 3 mesi di sicuro non si indaga a fondo la materia ma se ne raschia solo la superficie.

[j18eos]

"francescojordan":Per quanto possa essere di base...

La geometria differenziale fatta con le varietà differenziabile non è matematica di base, a questo mi riferivo![ot]Per il resto, condivido ed è meglio che non aggiunga... [/ot]