E' vero che..?
E' vero che, data una matrice $A$ e dato un suo autovalore $lambda$,
La molteplicità geometrica di $lambda$ (cioè la dimensione dell'autospazio corrispondente) è uguale alla molteplicità con cui $lambda$ appare come radice del polinomio minimo di $A$??
Sto studiando algebra lineare, sono arrivato al polinomio minimo e al teorema Cayley-Hamilton, qualsiasi materiale sarebbe prezioso
Grazie
La molteplicità geometrica di $lambda$ (cioè la dimensione dell'autospazio corrispondente) è uguale alla molteplicità con cui $lambda$ appare come radice del polinomio minimo di $A$??
Sto studiando algebra lineare, sono arrivato al polinomio minimo e al teorema Cayley-Hamilton, qualsiasi materiale sarebbe prezioso
Grazie
Risposte
No, la molteplicità algebrica in generale è $<=$ di quella geometrica. Poi quando sono uguali per tutti gli autovalori la matrice è diagonalizabile.
Confermo le parole di otta96, ed aggiungo un esempio:
\[
A=\begin{pmatrix}
0 & 1\\
0 & 0
\end{pmatrix}.
\]
Studialo!
\[
A=\begin{pmatrix}
0 & 1\\
0 & 0
\end{pmatrix}.
\]
Studialo!
"otta96":
No, la molteplicità algebrica in generale è $<=$ di quella geometrica. Poi quando sono uguali per tutti gli autovalori la matrice è diagonalizabile.
intendevi forse $>=$?
forse non si è capito ma la domanda era sulla molteplicità di un autovalore nel polinomio minimo, non caratteristico
"j18eos":
Confermo le parole di otta96, ed aggiungo un esempio:
\[ A=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}. \]
Studialo!
studiando questa matrice ho che
polinomio caratteristico $=X^2$
polinomio minimo $=X^2$
quindi l'unico autovalore è 0 con molteplicità algebrica 2 nel polinomio caratteristico e 2 nel polinomio minimo...
inoltre ha molteplicità geometrica 1 facendo i conti sul nucleo.
Praticamente se non sbaglio ho la relazione:
molteplicità geometrica $<=$ molteplicità algebrica nel p.minimo $<=$ molteplicità algebrica nel p.caratteristico
dico bene?
"ProPatria":
intendevi forse $>=$?
forse non si è capito ma la domanda era sulla molteplicità di un autovalore nel polinomio minimo, non caratteristico
Si hai ragione, e non mi ero accorto di "minimo"
Nemmeno io: pardon!
"otta96":
[quote="ProPatria"]intendevi forse $>=$?
forse non si è capito ma la domanda era sulla molteplicità di un autovalore nel polinomio minimo, non caratteristico
Si hai ragione, e non mi ero accorto di "minimo"
[/quote]Non c'è problema, allora dovevo specificarlo meglio...
comunque @j18eos per ironia l'esempio è stato comunque azzeccato
Le matrici con soli \(\displaystyle0\) e \(\displaystyle1\) sono le mie preferite, quando si tratta di mettere alla prova le persone e o le affermazioni! 
"ProPatria":
molteplicità geometrica $<=$ molteplicità algebrica nel p.minimo $<=$ molteplicità algebrica nel p.caratteristico
dico bene?
scusatemi se insisto tanto, ma allora vale sempre questa relazione o sbaglio? c'è qualche materiale che mi potrebbe chiarire meglio le idee? attualmente non seguo corsi quindi non ho professori a cui chiedere
No non è vero, per esempio se prendi la matrice identica quella ha un solo autospazio con molteplicità geometrica $n$, ma il polinomio minimo ha grado $1$.
"hydro":
No non è vero, per esempio se prendi la matrice identica quella ha un solo autospazio con molteplicità geometrica $n$, ma il polinomio minimo ha grado $1$.
grazie mille!!
in altre parole la molteplicità geometrica e il grado del polinomio minimo non hanno nulla che li leghi...
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