è un sistema di generatori???

[giacomololo1]

Oggi sono andato a fare per la seconda volta l'orale di algebra 1, e per la seconda volta nn sono passato

Come argomento a piacere ho scelto il Lemma Di Steinitz:
Sia V(K) un uno spazio vettoriale finitamente generato, sia B=[$v_1$,$v_2$,.....,$v_n$] un sistema di generatori di V e sia A[$u_1$,$u_2$,....,$u_m$] un sistema libero di vettori di V. Allora m$<=$n.

E fin qui tutto a posto...

Allora ho iniziato a dimostrarlo:

supposto per assurdo m$>$n
Dato che B è un sistema di generatori per V allora il vettore $u_1$ dipende linearmente da B e quindi:
$u_1=h_1*v_1+h_2*v_2+........+h_n*v_n$

Sicuramente non possono essere tutti nulli i coefficienti h, altrimenti sarebbe $u_1$=vettor nullo e quindi contro l'ipotesi che A sia libero.
Non è restrittivo supporre che $v_1=((h_1)^-1)(u_1+h_2*v_2+h_3*v_3+.....+h_n*v_n)$
Pertanto anche il sistema $B_1=[u_1,v_2,....,v_n]$ è un sistema di generatori di V(K).

E proprio da quest'ultima affermazione è nato il problema, perchè la professoressa mi ha chiesto di dimostrarle che $B_1$ è un sistema di generatori per V(K).

Qualcuno cortesemente saprebbe dimostrarlo???

[Sk_Anonymous]

Forse sbaglio e semplifico troppo il problema,ma si puo' ragionare sinteticamente cosi':
Sia v il generico vettore di V:sara' v combinazione lineare ( a coeff.
non tutti nulli) di $(v_1,v_2,...,v_n)$.Sostituendo in tale combinazione a $v_1$
la sua espressione in funzione di $u_1$ ne verra' che v sara' rappresentato come
combinazione lineare di $(u_1,v_2,v_3,...v_n)$ e cio' proverebbe la tesi.
Archimede

[giacomololo1]

Forse può andare, grazie, ma per sicurezza lo chiederò anche alla mia professoressa.