Due proprietà delle topologie prodotto
Ciao, amici! Se lo spazio $X_1\times...\times X_n$ è munito della topologia prodotto mi sembra immediato che valgano i seguenti fatti:
-se ogni $X_i$ soddisfa il primo assioma di numerabilità, lo soddisfa anche $X_1\times...\times X_n$;
-una successione \(\{x_n\}_n=\{(x_{1,n},...,x_{n,n})\}_n\subset X_1\times...\times X_n\) converge a \(x=(x_1,...,x_n)\in X_1\times...\times X_n\) se e solo se ogni successione \(\{x_{i,n}\}_n\) converge a $x_i\in X_i$.
Mi scuso per la banalità, ma better safe than sorry...
$\infty$ grazie!
-se ogni $X_i$ soddisfa il primo assioma di numerabilità, lo soddisfa anche $X_1\times...\times X_n$;
-una successione \(\{x_n\}_n=\{(x_{1,n},...,x_{n,n})\}_n\subset X_1\times...\times X_n\) converge a \(x=(x_1,...,x_n)\in X_1\times...\times X_n\) se e solo se ogni successione \(\{x_{i,n}\}_n\) converge a $x_i\in X_i$.
Mi scuso per la banalità, ma better safe than sorry...
$\infty$ grazie!
Risposte
"DavideGenova":
-se ogni $X_i$ soddisfa il primo assioma di numerabilità, lo soddisfa anche $X_1\times...\times X_n$;
-una successione \(\{x_n\}_n=\{(x_{1,n},...,x_{n,n})\}_n\subset X_1\times...\times X_n\) converge a \(x=(x_1,...,x_n)\in X_1\times...\times X_n\) se e solo se ogni successione \(\{x_{i,n}\}_n\) converge a $x_i\in X_i$.
Direi che sono vere entrambe le cose. Perché non provi a dimostrarle e non proponi qui le dimostrazioni? Magari ne vien fuori una bella discussione, e di sicuro è un esercizio utile.
$\infty$ grazie!
La topologia di \(X:=X_1\times...\times X_n\) dove ogni $X_i$ ha topologia \(\mathcal{T}_i\) è, se non sbaglio, \(\{A_1\times ...\times A_n:A_i\in\mathcal{T_i}\setminus\emptyset,i=1,...,n\}\).
Se \(\{N_{i,j}\}_{j\in\mathbb{N}}\) è una base di intorni di $x_i\in X_i$ allora, per ogni intorno di ogni \((x_1,...,x_n)\in X\), il quale contiene, per come è definita la base, un intorno \(U_1\times...\times U_n\) che conterrà a sua volta un intorno \(N_{1,k_1}\times...\times N_{n,k_n}\), quindi \(\{N_{i,j}\}_{(i,j)\in\{1,...,n\}\times\mathbb{N}}\) è una base di intorni numerabile di $x$.
Per la seconda, se \(\forall U_i\in\mathcal{N}(x_i)\quad\exists M_i\in\mathbb{N}:\forall m\geq M_i\quad x_{i,m}\in U_i\), allora, contenendo ogni intorno \(U\in\mathcal{(x_1,...x_n)}\) un insieme della forma \(U_1\times...\times U_n\) dove \(U_i\in\mathcal{N}(x_i)\), si avrà che, \(\forall m\geq \max_{i=1,..,n} M_i \quad (x_{1,m},...,x_{n,m})\in U\). D'altra parte, se \(\forall U\in\mathcal{N}((x_1,...,x_n))\quad\exists M\in\mathbb{N}:\forall m\geq M\quad (x_{1,m},...,x_{n,m})\in U\), allora per ogni $n$-upla di intorni \((U_1,...,U_n)\in\mathcal{N}(x_1)\times...\times\mathcal{N}(x_n)\) esisterà, in quanto \(U_1\times...\times U_n\) è un intorno di $x$ perché contiene un prodotto di $n$ aperti contenenti ognuno un $x_i$, un naturale $M$ tale che, per ogni $i=1,...,n$, \(\forall m\geq M\quad x_{i,m}\in U_i\).
Spero di non aver scritto scemenze.
EDIT: corretti refusi rilevati da Epimenide93. Cfr. anche sotto.
La topologia di \(X:=X_1\times...\times X_n\) dove ogni $X_i$ ha topologia \(\mathcal{T}_i\) è, se non sbaglio, \(\{A_1\times ...\times A_n:A_i\in\mathcal{T_i}\setminus\emptyset,i=1,...,n\}\).
Se \(\{N_{i,j}\}_{j\in\mathbb{N}}\) è una base di intorni di $x_i\in X_i$ allora, per ogni intorno di ogni \((x_1,...,x_n)\in X\), il quale contiene, per come è definita la base, un intorno \(U_1\times...\times U_n\) che conterrà a sua volta un intorno \(N_{1,k_1}\times...\times N_{n,k_n}\), quindi \(\{N_{i,j}\}_{(i,j)\in\{1,...,n\}\times\mathbb{N}}\) è una base di intorni numerabile di $x$.
Per la seconda, se \(\forall U_i\in\mathcal{N}(x_i)\quad\exists M_i\in\mathbb{N}:\forall m\geq M_i\quad x_{i,m}\in U_i\), allora, contenendo ogni intorno \(U\in\mathcal{(x_1,...x_n)}\) un insieme della forma \(U_1\times...\times U_n\) dove \(U_i\in\mathcal{N}(x_i)\), si avrà che, \(\forall m\geq \max_{i=1,..,n} M_i \quad (x_{1,m},...,x_{n,m})\in U\). D'altra parte, se \(\forall U\in\mathcal{N}((x_1,...,x_n))\quad\exists M\in\mathbb{N}:\forall m\geq M\quad (x_{1,m},...,x_{n,m})\in U\), allora per ogni $n$-upla di intorni \((U_1,...,U_n)\in\mathcal{N}(x_1)\times...\times\mathcal{N}(x_n)\) esisterà, in quanto \(U_1\times...\times U_n\) è un intorno di $x$ perché contiene un prodotto di $n$ aperti contenenti ognuno un $x_i$, un naturale $M$ tale che, per ogni $i=1,...,n$, \(\forall m\geq M\quad x_{i,m}\in U_i\).
Spero di non aver scritto scemenze.
EDIT: corretti refusi rilevati da Epimenide93. Cfr. anche sotto.
Per il primo, c'è buona parte dell'idea, ma c'è da spendere qualche parola in più. In particolare:
Se non capisco male qui stai usando la tua tesi come un'ipotesi. Il fatto è che la giustificazione che hai omesso è quasi scontata, ma va fatta. Tu hai definito la base dei singoli \(x_i\), che i prodotti delle basi sono una base nello spazio prodotto è da dimostrare.
Qui mi sembra che sia tutto giusto
Ci sono un paio di typo: il primo \(N_i\) che usi è un \(M_i\), dove scrivi \(U\in\mathcal{(x_1,...x_n)}\) è \(U\in\mathcal{N}(x_1,...x_n)\), e la seconda \(n\)-upla che compare in \(\forall U\in\mathcal{N}((x_1,...,x_n))\quad\exists M\in\mathbb{N}:\forall m\geq M\quad (x_{1,n},...,x_{n,m})\in U\) è \((x_{1,m},...,x_{n,m})\). (Te lo dico perché visto che hai uno stile abbastanza ermetico è importante che tu stia attento.)
Il giorno in cui succederà non farti troppi problemi, è il modo più veloce per imparare... e te lo dice uno che ne ha scritte tante, anche supermassive
"DavideGenova":
per ogni intorno di ogni \((x_1,...,x_n)\in X\), il quale contiene, per come è definita la base, un intorno \(U_1\times...\times U_n\) che conterrà a sua volta un intorno \(N_{1,k_1}\times...\times N_{n,k_n}\).
Se non capisco male qui stai usando la tua tesi come un'ipotesi. Il fatto è che la giustificazione che hai omesso è quasi scontata, ma va fatta. Tu hai definito la base dei singoli \(x_i\), che i prodotti delle basi sono una base nello spazio prodotto è da dimostrare.
"DavideGenova":
Per la seconda, se \(\forall U_i\in\mathcal{N}(x_i)\quad\exists M_i\in\mathbb{N}:\forall m\geq N_i\quad x_{i,m}\in U_i\), allora, contenendo ogni intorno \(U\in\mathcal{(x_1,...x_n)}\) un insieme della forma \(U_1\times...\times U_n\) dove \(U_i\in\mathcal{N}(x_i)\), si avra che, \(\forall m\geq \max_{i=1,..,n} M_i \quad (x_{1,m},...,x_{n,m})\in U\). D'altra parte, se \(\forall U\in\mathcal{N}((x_1,...,x_n))\quad\exists M\in\mathbb{N}:\forall m\geq M\quad (x_{1,n},...,x_{n,m})\in U\), allora per ogni $n$-upla di intorni \((U_1,...,U_n)\in\mathcal{N}(x_1)\times...\times\mathcal{N}(x_n)\) esisterà, in quanto \(U_1\times...\times U_n\) è un intorno di $x$ perché contiene un prodotto di $n$ aperti contenenti ognuno un $x_i$, un naturale $M$ tale che, per ogni $i=1,...,n$, \(\forall m\geq M\quad x_{i,m}\in U_i\).
Qui mi sembra che sia tutto giusto
Ci sono un paio di typo: il primo \(N_i\) che usi è un \(M_i\), dove scrivi \(U\in\mathcal{(x_1,...x_n)}\) è \(U\in\mathcal{N}(x_1,...x_n)\), e la seconda \(n\)-upla che compare in \(\forall U\in\mathcal{N}((x_1,...,x_n))\quad\exists M\in\mathbb{N}:\forall m\geq M\quad (x_{1,n},...,x_{n,m})\in U\) è \((x_{1,m},...,x_{n,m})\). (Te lo dico perché visto che hai uno stile abbastanza ermetico è importante che tu stia attento.)
"DavideGenova":
Spero di non aver scritto scemenze.
Il giorno in cui succederà non farti troppi problemi, è il modo più veloce per imparare... e te lo dice uno che ne ha scritte tante, anche supermassive
Grazie ancora!!!
Non so se è che ultimamente mi sto abituando a leggere dimostrazioni con così tanti sottintesi anche di fatti tutt'altro che banali mai esplicitati nel libro che, ad un esame scritto in cui mi si chiede di dimostrare un teorema, scriverei come dimostrazione "si lascia la facile verifica al lettore"...
"Epimenide93":Non sono certo di cogliere dove sta la lacuna... Intendo dire che, se $U$ è un intorno di \((x_1,...,x_n)=x\) esso deve contenere un aperto della forma \(\bigcup_{\alpha} A_{1,\alpha}\times...\times A_{n,\alpha}\) con $x_{i}\in A_{i,\alpha_i}$ per qualche $\alpha_i$. Quindi, se \( \{N_{i,j}\}_{j\in\mathbb{N}} \) è una base di intorni di $ x_i\in X_i $, esiste per qualche \(j_i\) un $N_{i,j_i}\subset A_{i,\alpha_i} $, per cui \(N_{1,j_1}\times...\times N_{n,j_n}\subset A_{1,\alpha_1}\times...\times A_{n,\alpha_n}\subset \bigcup_{\alpha} A_{1,\alpha}\times...\times A_{n,\alpha}\subset U\) e, d'altra parte, \(N_{1,j_1}\times...\times N_{n,j_n}\) contiene di prodotto di $n$ aperti contenenti ciascuno un $x_i$, che è per definizione un aperto contenente \((x_1,...,x_n)\). Al variare di $i$ e $j$ otteniamo perciò che \( \{N_{i,j}\}_{(i,j)\in\{1,...,n\}\times\mathbb{N}} \) è una base di intorni e \(\{1,...,n\}\times\mathbb{N}\) è numerabile.
Tu hai definito la base dei singoli \(x_i\), che i prodotti delle basi sono una base nello spazio prodotto è da dimostrare.
Non so se è che ultimamente mi sto abituando a leggere dimostrazioni con così tanti sottintesi anche di fatti tutt'altro che banali mai esplicitati nel libro che, ad un esame scritto in cui mi si chiede di dimostrare un teorema, scriverei come dimostrazione "si lascia la facile verifica al lettore"...
"DavideGenova":
se $U$ è un intorno di \((x_1,...,x_n)=x\) esso deve contenere un aperto della forma \(\bigcup_{\alpha} A_{1,\alpha}\times...\times A_{n,\alpha}\) con $x_{i}\in A_{i,\alpha_i}$ per qualche $\alpha_i$. Quindi, se \( \{N_{i,j}\}_{j\in\mathbb{N}} \) è una base di intorni di $ x_i\in X_i $, esiste per qualche \(j_i\) un $N_{i,j_i}\subset A_{i,\alpha_i} $, per cui \(N_{1,j_1}\times...\times N_{n,j_n}\subset A_{1,\alpha_1}\times...\times A_{n,\alpha_n}\subset \bigcup_{\alpha} A_{1,\alpha}\times...\times A_{n,\alpha}\subset U\) (...)
Bingo! Non avevo dubbi che tu avessi capito la questione, ma questa parte va scritta, se la ometti il ragionamento suona come se stessi usando la tesi nella dimostrazione.
"DavideGenova":
Non so se è che ultimamente mi sto abituando a leggere dimostrazioni con così tanti sottintesi anche di fatti tutt'altro che banali mai esplicitati nel libro che, ad un esame scritto in cui mi si chiede di dimostrare un teorema, scriverei come dimostrazione "si lascia la facile verifica al lettore"...
$\infty$ grazie! È giusta, comunque, la mia definizione di base della topologia prodotto \(\{A_1\times ...\times A_n:A_i\in\mathcal{T_i}\setminus\emptyset,i=1,...,n\}\)? Il Sernesi scrive \(\{A_1\times ...\times A_n:A_i\in\mathcal{T_i},i=1,...,n\}\), ma mi sembra adesso, dopo tanto tempo che l'ho studiato, che ci sia qualcosa che non va... \((0,1)\times\emptyset\) non mi sembra mica un aperto di $\mathbb{R}^2$...
Dovresti aggiungere \(\emptyset\), ma nella pratica lo si dà sempre per sottinteso[nota]alcuni (me incluso) giustificano la cosa col fatto che per ottenere \(\emptyset\) basta considerare l'unione vuota, quindi la chiusura rispetto all'unione implica che qualsiasi base include anche \(\emptyset\) nella topologia che genera. Ad altri prende l'orticaria a toccare \(\emptyset\) quindi preferiscono ignorare questo fatto ed includere l'insieme vuoto esplicitamente.[/nota] quindi sì, va bene. Sernesi include \(\emptyset\) in quanto \(\forall A : A \times \emptyset = \emptyset\), quindi la sua definizione è equivalente alla tua. Però stai attento, ché \((0,1) \times \emptyset = \emptyset \) è un aperto di \(\mathbb{R}^2\).
Ah, ecco, avrei detto invece che \((0,1)\times\emptyset\) è una cosa che non esiste, piuttosto che \(\emptyset\). Grazie ancora!!!
In generale, nella teoria degli insiemi vale una proprietà interessante: il prodotto di due insiemi è vuoto se e solo se almeno uno dei due è vuoto. Tra l'altro la proprietà si estende a prodotti arbitrari.
Notevole, me lo annoto subito a matita. Grazie di nuovo!
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