Due esercizi di geometria1 - spazi vetoriali
Ciao a tutti, ho questi due esercizi di geometria ma non so bene come procedere... Ve li descrivo ad uno ad uno...
1° problema:
Sia $U={(x,y) in R^2 t.c. (x^2)+(y^2)=1}$
U è sottospazio vettoriale di $R^2$? Se si calcolare dimensione e base.
2° problema:
In $R^3$
Sia $U= <(1, 0, -1), (-3, 1, 4)>
e sia $v= (1, 1+3k, 1+k)$ con $k in R$
Per quali valori di k il vettore $v$ appartiene a $U$
Allora con il primo problema ho iniziato dicendo che per dimostrare se U è sottospazio devo dimostrarne la stabilità additiva e moltiplicativa. Così ho preso due vettori di U per dimostrare che la loro somma è ancora un vettore di U ma non riesco a svilupare le operazioni. Idem per la stabilità rispetto al prodotto di uno scalare.
Il secondo non ho capito bene come impostarlo...
Ringrazio chiunque voglia darmi una mano...
1° problema:
Sia $U={(x,y) in R^2 t.c. (x^2)+(y^2)=1}$
U è sottospazio vettoriale di $R^2$? Se si calcolare dimensione e base.
2° problema:
In $R^3$
Sia $U= <(1, 0, -1), (-3, 1, 4)>
e sia $v= (1, 1+3k, 1+k)$ con $k in R$
Per quali valori di k il vettore $v$ appartiene a $U$
Allora con il primo problema ho iniziato dicendo che per dimostrare se U è sottospazio devo dimostrarne la stabilità additiva e moltiplicativa. Così ho preso due vettori di U per dimostrare che la loro somma è ancora un vettore di U ma non riesco a svilupare le operazioni. Idem per la stabilità rispetto al prodotto di uno scalare.
Il secondo non ho capito bene come impostarlo...
Ringrazio chiunque voglia darmi una mano...
Risposte
$ v in U $ se e solo se $v$ si può esprimere come combinazione lineare di $(-1,0,-1)$ e $(-3,1,4)$.
Per verificare per quali valori $ k in RR $ ciò si verifica potresti vedere per quali valori di $k$ si annulla il determinante della matrice avente come colonne : $(-1,0,-1)$ , $(-3,1,4)$, $(1, 1+3k,1+k)$
Per verificare per quali valori $ k in RR $ ciò si verifica potresti vedere per quali valori di $k$ si annulla il determinante della matrice avente come colonne : $(-1,0,-1)$ , $(-3,1,4)$, $(1, 1+3k,1+k)$
"deserto":
$ v in U $ se e solo se $v$ si può esprimere come combinazione lineare di $(-1,0,-1)$ e $(-3,1,4)$.
Per verificare per quali valori $ k in RR $ ciò si verifica potresti vedere per quali valori di $k$ si annulla il determinante della matrice avente come colonne : $(-1,0,-1)$ , $(-3,1,4)$, $(1, 1+3k,1+k)$
purtroppo ancora non ci hanno spiegato le matrici... quindi non potrei presentare un esercizio risolto come mi hai rpoposto anche se credo vada bene...
"Sergio":
[quote="honey"]1° problema:
Sia $U={(x,y) in R^2 t.c. (x^2)+(y^2)=1}$
U è sottospazio vettoriale di $R^2$? Se si calcolare dimensione e base.
Prima domanda facile facile: esiste in $U$ il vettore nullo? Direi proprio di no, perché $0^2+0^2 != 1$.
Non basta?
Prendi un vettore di $U$, ad esempio $v=(1,0)$ appartiene a $U$ perché $1^2+0^2=1.
Poi ne prendi un altro, ad esempio $w=(0,1)$.
Poi li sommi. Appartiene forse a $U$ $v+w=(1,1)$? No: $1^2+1^2=2 != 1$.
Oppure prendi $v$ e lo moltiplichi per 2: $2v=(2,0)$ non appartiene a $U$, in quanto $2^2+0^2 = 4 != 1$.
Insomma, $U$ mi pare non assomigli neanche un po' ad uno spazio vettoriale...[/quote]
si dal punto di vista intuitivo va bene ma dovrei svolgere l'esercizio utilizzando elementi generici di u, ovvero con lettere e simboli in maniera univoca ovviamnte!
"honey":
...
si dal punto di vista intuitivo va bene ...
A me invece sembra che vada benissimo anche da un punto di vista formale.
Vediamo di risolvere il secondo quesito utilizzando la "via classica": vogliamo determinare se esistono $\alpha$ e $\beta$ tali che $(1,1+3k,1+k)=\alpha*(1,0,-1) +\beta*(-3,1,4)$. A tale proposito dobbiamo risolvere il sistema seguente:
$\{(1=\alpha-3\beta),(1+3k=\beta),(1+k=-\alpha+4\beta):}$
che risolto fornisce i seguenti valori:
$\{(k=1/2),(\alpha=17/2),(\beta=5/2):}$
ne consegue che $v in U$ se $k=1/2$; inoltre vediamo subito i valori di $\alpha$ e$\beta$ per cui ciò si verifica.
$\{(1=\alpha-3\beta),(1+3k=\beta),(1+k=-\alpha+4\beta):}$
che risolto fornisce i seguenti valori:
$\{(k=1/2),(\alpha=17/2),(\beta=5/2):}$
ne consegue che $v in U$ se $k=1/2$; inoltre vediamo subito i valori di $\alpha$ e$\beta$ per cui ciò si verifica.
"deserto":
Vediamo di risolvere il secondo quesito utilizzando la "via classica": vogliamo determinare se esistono $\alpha$ e $\beta$ tali che $(1,1+3k,1+k)=\alpha*(1,0,-1) +\beta*(-3,1,4)$. A tale proposito dobbiamo risolvere il sistema seguente:
$\{(1=\alpha-3\beta),(1+3k=\beta),(1+k=-\alpha+4\beta):}$
che risolto fornisce i seguenti valori:
$\{(k=1/2),(\alpha=17/2),(\beta=5/2):}$
ne consegue che $k in U$ se $k=1/2$; inoltre vediamo subito i valori di $\alpha$ e$\beta$ per cui ciò si verifica.
ah capito... grazie tante... grazie a entrambi...
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