Due esercizi di geometria semplici
Vi propongo due esercizi proposti all'esame di geometria di un paio di settimane fa:
1) Trovare l'equazione della retta s passante per D(-2, 1, 0), parallela al piano alfa (dove alfa: 2x-y-2z+7=0) e complanare con la retta r: 3x+2z+1=4x+4y-1=0
2) Il luogo dei punti Q di alfa tali che l'area del triangolo con vertici C( 1, 0, 0), A(-1,1,2) e Q sia $ 3*(2)^(1/2)$
ora per il primo mi manca proprio il metodo di ragionamento, più che altro non riesco a trovare prima una soluzione grafica alla cosa che mi renderebbe la vita devcisamente più semplice, non riesco proprio ad immaginarmelo. E' logico che dovrei trovare due piani prima, in quanto si tratta di una retta, avevo pensato inizialmente di ricavarmi il piano passante per D e contenente r (tramite fascio di piani con asse r) e successivamente il piano parallelo ad alfa e passante per D. Il problema è che non mi convince.
per il secondo, mi manca una cosa fondamentale. Come si esprime il punto generico di un piano? Perchè sapendo quello credo sia facile impostare la condizione:
ossia il modulo del prodotto vettoriale = $3*(2)^(1/2)$
1) Trovare l'equazione della retta s passante per D(-2, 1, 0), parallela al piano alfa (dove alfa: 2x-y-2z+7=0) e complanare con la retta r: 3x+2z+1=4x+4y-1=0
2) Il luogo dei punti Q di alfa tali che l'area del triangolo con vertici C( 1, 0, 0), A(-1,1,2) e Q sia $ 3*(2)^(1/2)$
ora per il primo mi manca proprio il metodo di ragionamento, più che altro non riesco a trovare prima una soluzione grafica alla cosa che mi renderebbe la vita devcisamente più semplice, non riesco proprio ad immaginarmelo. E' logico che dovrei trovare due piani prima, in quanto si tratta di una retta, avevo pensato inizialmente di ricavarmi il piano passante per D e contenente r (tramite fascio di piani con asse r) e successivamente il piano parallelo ad alfa e passante per D. Il problema è che non mi convince.
per il secondo, mi manca una cosa fondamentale. Come si esprime il punto generico di un piano? Perchè sapendo quello credo sia facile impostare la condizione:
ossia il modulo del prodotto vettoriale = $3*(2)^(1/2)$
Risposte
"Lokad":
Vi propongo due esercizi proposti all'esame di geometria di un paio di settimane fa:
1) Trovare l'equazione della retta s passante per D(-2, 1, 0), parallela al piano alfa (dove alfa: 2x-y-2z+7=0) e complanare con la retta r: 3x+2z+1=4x+4y-1=0
2) Il luogo dei punti Q di alfa tali che l'area del triangolo con vertici C( 1, 0, 0), A(-1,1,2) e Q sia $ 3*(2)^(1/2)$
ora per il primo mi manca proprio il metodo di ragionamento, più che altro non riesco a trovare prima una soluzione grafica alla cosa che mi renderebbe la vita devcisamente più semplice, non riesco proprio ad immaginarmelo. E' logico che dovrei trovare due piani prima, in quanto si tratta di una retta, avevo pensato inizialmente di ricavarmi il piano passante per D e contenente r (tramite fascio di piani con asse r) e successivamente il piano parallelo ad alfa e passante per D. Il problema è che non mi convince.
Perchè no? è corretto.
-per il secondo:
le coordinate di un generico punto di un piano sono esattamente quelle che soddisfano l'equazione del piano.
grazie per il conforto 
comunque, ok il punto generico è quello che soddisfa il piano. E questa è una visione generale, ma nello specifico?
Cioè per esempio nella retta, il punto generico dipende da un solo parametro e si ricava usando appunto la sua equazione parametrica. Ma il piano?
Se ci fossero piu' di tre parametri allora il mio ragionamento di impostare quel tipo di equazione per risolvere il problema non porta da nessuna parte
comunque, ok il punto generico è quello che soddisfa il piano. E questa è una visione generale, ma nello specifico?
Cioè per esempio nella retta, il punto generico dipende da un solo parametro e si ricava usando appunto la sua equazione parametrica. Ma il piano?
Se ci fossero piu' di tre parametri allora il mio ragionamento di impostare quel tipo di equazione per risolvere il problema non porta da nessuna parte
Puoi esprimere una delle coordinate
di $Q$ in funzione delle
altre due.
Hai così due parametri da determinare attraverso la condizione sull'area del triangolo
(comunque : -è il modulo del prodotto vettoriale -diviso due).
Hai bisogno di due equazioni,
puoi perciò porre:
$|\vec(QC)"x"\vec(CA)|=(3/2)\sqrt(2)$
e
$|\vec(QA)"x"\vec(CA)|=(3/2)\sqrt(2)$
di $Q$ in funzione delle
altre due.
Hai così due parametri da determinare attraverso la condizione sull'area del triangolo
(comunque : -è il modulo del prodotto vettoriale -diviso due).
Hai bisogno di due equazioni,
puoi perciò porre:
$|\vec(QC)"x"\vec(CA)|=(3/2)\sqrt(2)$
e
$|\vec(QA)"x"\vec(CA)|=(3/2)\sqrt(2)$
tutto chiaro, grazie mille
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