Due esercizi di algebra lineare
Salve a tutti. Sto svolgendo degli esercizi per un esame di geometria differenziale e ne ho trovato due che proprio non riesco a risolvere, ve li scrivo di seguito.
Esercizio 1:
Verificare che
\[
X^{-1}_JX =
\begin{pmatrix}
z^1_1 & \dots & z^{i-1}_1 & 1 & z^{i+1}_1 & \dots & z^{j-1}_1 & 0 & z^{j+1}_1 & \dots & z^n_1 \\
z^1_2 & \dots & z^{i-1}_2 & 0 & z^{i+1}_2 & \dots & z^{j-1}_2 & 1 & z^{j+1}_2 & \dots & z^n_2
\end{pmatrix}
\]
dove \(X^{-1}_J\) è l'inversa della sottomatrice di X individuata in corrispondenza di \(J = (i, j)\)
Esercizio 2:
Verificare che se tutti i minori del terzo ordine della matrice:
\[
\begin{pmatrix}
X\\
Y
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
X_1\\
X_2\\
Y_1\\
Y_2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
x^1_1 & \dots & x^n_1\\
x^1_2 & \dots & x^n_2\\
y^1_1 & \dots & y^n_1\\
y^1_2 & \dots & y^n_2
\end{pmatrix}
\]
sono nulli, allora esiste una matrice \( A \in GL(2,\mathbb{R}) \) tale che
\[ Y = AX \].
Nel primo esercizio non capisco bene la situazione in quanto non capisco cosa intenda con sottomatrice, perché le due matrici che compaiono nella moltiplicazione dovrebbero essere la prima 2x2 e l'altra 2xn no? oppure mi sfugge qualcosa.
Nel secondo ho provato a prendere in considerazione i primi minori di ordine 3, ossia prendendo le prime tre colonne e le tre possibili combinazioni delle righe e controllando che dal fatto che il determinante sia nullo si capisse che le entrate di Y fossero proprio uguali a una certa matrice A per X, ma non sono andato lontano.
so che non sono esercizi di geometria differenziale ma di algebra lineare ma compaiono in una lista di esercizi per un corso di fondamenti di geometria superiore che sto preparando. Spero qualcuno mi possa aiutare.
Esercizio 1:
Verificare che
\[
X^{-1}_JX =
\begin{pmatrix}
z^1_1 & \dots & z^{i-1}_1 & 1 & z^{i+1}_1 & \dots & z^{j-1}_1 & 0 & z^{j+1}_1 & \dots & z^n_1 \\
z^1_2 & \dots & z^{i-1}_2 & 0 & z^{i+1}_2 & \dots & z^{j-1}_2 & 1 & z^{j+1}_2 & \dots & z^n_2
\end{pmatrix}
\]
dove \(X^{-1}_J\) è l'inversa della sottomatrice di X individuata in corrispondenza di \(J = (i, j)\)
Esercizio 2:
Verificare che se tutti i minori del terzo ordine della matrice:
\[
\begin{pmatrix}
X\\
Y
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
X_1\\
X_2\\
Y_1\\
Y_2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
x^1_1 & \dots & x^n_1\\
x^1_2 & \dots & x^n_2\\
y^1_1 & \dots & y^n_1\\
y^1_2 & \dots & y^n_2
\end{pmatrix}
\]
sono nulli, allora esiste una matrice \( A \in GL(2,\mathbb{R}) \) tale che
\[ Y = AX \].
Nel primo esercizio non capisco bene la situazione in quanto non capisco cosa intenda con sottomatrice, perché le due matrici che compaiono nella moltiplicazione dovrebbero essere la prima 2x2 e l'altra 2xn no? oppure mi sfugge qualcosa.
Nel secondo ho provato a prendere in considerazione i primi minori di ordine 3, ossia prendendo le prime tre colonne e le tre possibili combinazioni delle righe e controllando che dal fatto che il determinante sia nullo si capisse che le entrate di Y fossero proprio uguali a una certa matrice A per X, ma non sono andato lontano.
so che non sono esercizi di geometria differenziale ma di algebra lineare ma compaiono in una lista di esercizi per un corso di fondamenti di geometria superiore che sto preparando. Spero qualcuno mi possa aiutare.
Risposte
Esercizio 2:
Come prima cosa puoi chiederti quando, date due applicazioni lineari $f$, $g$, puoi trasformare l'una nell'altra con un'opportuna composizione poi, successivamente, vedere come tutto ciò si esprime quando $f$ e $g$ sono date dalle due sottomatrici $X$ e $Y$.
Prova a mostrare questo, se trovi problemi chiedi pure:
Siano $V$, $W$, $Z$ spazi vettoriali sul campo K, $f:V->W$, $g:V->Z$ applicazioni lineari: esiste $h:Z->W$ tale che $f = h @ g$ se e solo se $Ker(g) sube Ker(f)$
(in parole povere: date f e g di stesso dominio, puoi trovare una h che per composizione "trasforma" g in f se e solo se Kerg è contenuto in Kerf)
Quindi dobbiamo mostrare che $Ker(X) sube Ker(Y)$ dove
$X = ((x^1_1, ... , x^n_1), (x^1_2, ... , x^n_2))$ e
$Y = ((y^1_1, ... , y^n_1), (y^1_2, ... , y^n_2))$
sfruttando il fatto che la matrice "completa" $((X), (Y))$ è tale che tutti i minori di ordine 3 hanno determinante nullo. Questo ci dice che il rango di $((X), (Y))$ è minore o uguale a 2. Da qui si vede che il testo non specifica abbastanza le cose, infatti posso rendere $((X), (Y))$ di rango minore o uguale a 2 facendo in modo che KerX non sia contenuto in KerY! Un modo semplice è porre
$X = ((0, ..., 0), (0, ..., 0))$ e $Y = ((y^1_1, ... , y^n_1), (y^1_2, ... , y^n_2))$ qualsiasi
le ipotesi del testo del testo sono soddisfatte, ma non può essere $Y = AX$ perché $AX$ sarà sempre 0. Ma non c'è solo questo caso banale, anche
$X = ((1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1))$ e $Y = ((1, 1, 1, 1), (1, 2, 3, 4))$ KerX è $(1,1,1,1)^(_|_)$, di dimensione 3, KerY è ${(1,1,1,1), (1,2,3,4)}^(_|_)$, di dimensione 2: ancora non può essere KerX contenuto in KerY!
Vediamo come potremmo aggiustare le ipotesi. Sarà KerX contenuto in KerY se e solo se il fatto di essere ortogonali a $X_1$ e $X_2$ implica che si è ortogonali anche a $Y_1$ e $Y_2$, cioè ${X_1, X_2}^(_|_) sube {Y_1, Y_2}^(_|_)$, ovvero deve essere $Span sube Span$ (se vuoi tutto questo si può dire in termini di mosse di Gauss sul sistema $((X), (Y))v = 0$)
In definitiva dobbiamo aggiungere come ipotesi che lo span delle righe di Y è contenuto nello span delle righe di X, equivalentemente che $Rk((X)) = Rk((X), (Y))$
Come prima cosa puoi chiederti quando, date due applicazioni lineari $f$, $g$, puoi trasformare l'una nell'altra con un'opportuna composizione poi, successivamente, vedere come tutto ciò si esprime quando $f$ e $g$ sono date dalle due sottomatrici $X$ e $Y$.
Prova a mostrare questo, se trovi problemi chiedi pure:
Siano $V$, $W$, $Z$ spazi vettoriali sul campo K, $f:V->W$, $g:V->Z$ applicazioni lineari: esiste $h:Z->W$ tale che $f = h @ g$ se e solo se $Ker(g) sube Ker(f)$
(in parole povere: date f e g di stesso dominio, puoi trovare una h che per composizione "trasforma" g in f se e solo se Kerg è contenuto in Kerf)
Quindi dobbiamo mostrare che $Ker(X) sube Ker(Y)$ dove
$X = ((x^1_1, ... , x^n_1), (x^1_2, ... , x^n_2))$ e
$Y = ((y^1_1, ... , y^n_1), (y^1_2, ... , y^n_2))$
sfruttando il fatto che la matrice "completa" $((X), (Y))$ è tale che tutti i minori di ordine 3 hanno determinante nullo. Questo ci dice che il rango di $((X), (Y))$ è minore o uguale a 2. Da qui si vede che il testo non specifica abbastanza le cose, infatti posso rendere $((X), (Y))$ di rango minore o uguale a 2 facendo in modo che KerX non sia contenuto in KerY! Un modo semplice è porre
$X = ((0, ..., 0), (0, ..., 0))$ e $Y = ((y^1_1, ... , y^n_1), (y^1_2, ... , y^n_2))$ qualsiasi
le ipotesi del testo del testo sono soddisfatte, ma non può essere $Y = AX$ perché $AX$ sarà sempre 0. Ma non c'è solo questo caso banale, anche
$X = ((1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1))$ e $Y = ((1, 1, 1, 1), (1, 2, 3, 4))$ KerX è $(1,1,1,1)^(_|_)$, di dimensione 3, KerY è ${(1,1,1,1), (1,2,3,4)}^(_|_)$, di dimensione 2: ancora non può essere KerX contenuto in KerY!
Vediamo come potremmo aggiustare le ipotesi. Sarà KerX contenuto in KerY se e solo se il fatto di essere ortogonali a $X_1$ e $X_2$ implica che si è ortogonali anche a $Y_1$ e $Y_2$, cioè ${X_1, X_2}^(_|_) sube {Y_1, Y_2}^(_|_)$, ovvero deve essere $Span
In definitiva dobbiamo aggiungere come ipotesi che lo span delle righe di Y è contenuto nello span delle righe di X, equivalentemente che $Rk((X)) = Rk((X), (Y))$
ah ecco tutto torna se si ha come ipotesi, oltre quelle che hai scritto tu, che $X$ ha rango 2. Ci sta che nel testo che segui ci sia questa informazione? Se è così si può anche semplificare notevolmente la dimostrazione, non occorre tutto quello che si è detto sopra. Ah, affinché A la si possa prendere in $GL(2, RR)$, cioè invertibile, deve essere che anche $Y$ ha rango 2
Probabilmente manca l'ipotesi che sia X che Y abbiano rango 2 e quindi non si debbano aggiustare le cose come hai detto tu. Ovviamente non ne sono sicuro però vedendo anche gli altri esercizi non credo ci siano tutte quelle cose da "aggiustare".. Provo a vedere se aggiungendo questa ipotesi ne cavo fuori qualcosa.. Grazie mille
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