Due enunciati da dimostrare
Ciao 
Ho un dubbio sulla dimostrazione di due enunciati, in particolare sul secondo:
(i) Siano $u1$ e $W$ rispettivamente un vettore e un sottospazio di uno spazio vettoriale $V$. Se il vettore nullo è contenuto nella varietà lineare $u+W$, allora $u+W$ è un sottospazio.
(ii) Siano $u1$ e $u2$ vettori di $V$ e $W$ un sottospazio di $V$. Se $u1+W=u2+W$, allora $u1$ e $u2$ sono linearmente dipendenti.
Quanto avevo pensato io è questo:
(i) A partire dalla considerazione generale secondo cui, data una varietà lineare $u+W$ e un vettore $u' € u+W$, si ha $u+W=u'+W$, se $ 0 €u+W$ allora:
$u+W= 0 +W=W$, ed essendo $W$ un sottospazio, la tesi è dimostrata.
Per il secondo quesito non ho idea da dove partire. Consigli?
Ho un dubbio sulla dimostrazione di due enunciati, in particolare sul secondo:
(i) Siano $u1$ e $W$ rispettivamente un vettore e un sottospazio di uno spazio vettoriale $V$. Se il vettore nullo è contenuto nella varietà lineare $u+W$, allora $u+W$ è un sottospazio.
(ii) Siano $u1$ e $u2$ vettori di $V$ e $W$ un sottospazio di $V$. Se $u1+W=u2+W$, allora $u1$ e $u2$ sono linearmente dipendenti.
Quanto avevo pensato io è questo:
(i) A partire dalla considerazione generale secondo cui, data una varietà lineare $u+W$ e un vettore $u' € u+W$, si ha $u+W=u'+W$, se $ 0 €u+W$ allora:
$u+W= 0 +W=W$, ed essendo $W$ un sottospazio, la tesi è dimostrata.
Per il secondo quesito non ho idea da dove partire. Consigli?
Risposte
Il primo punto direi che torna.
Il secondo punto per come e' stato enunciato e' falso. Se $W$ e' un piano di dimensione $2$, e $u_1,u_2$ sono due vettori linearmente indipendenti in $W$, quello che hai dimostrato nel primo ti dice che $u_1+W = u_2 + W = W$.
Il secondo punto per come e' stato enunciato e' falso. Se $W$ e' un piano di dimensione $2$, e $u_1,u_2$ sono due vettori linearmente indipendenti in $W$, quello che hai dimostrato nel primo ti dice che $u_1+W = u_2 + W = W$.
Riusciresti a fornire una spiegazione più dettagliata della tua seconda argomentazione? Non riesco a cogliere bene il collegamento alla dimostrazione della tesi
Cosa non hai capito dell'argomento?
Non ho dimostrato la tesi. Ho fatto vedere che quello che vuoi dimostrare e' falso.
Se vogliamo un esempio esplicito, prendiamo in $\mathbb{R}^3$, il piano $W = span\{e_1,e_2\}$ dove $e_1,e_2,e_3$ sono i vettori della base canonica.
Allora $e_1 + W = e_2 + W = W$, ma $e_1,e_2$ sono linearmente indipendenti.
Non ho dimostrato la tesi. Ho fatto vedere che quello che vuoi dimostrare e' falso.
Se vogliamo un esempio esplicito, prendiamo in $\mathbb{R}^3$, il piano $W = span\{e_1,e_2\}$ dove $e_1,e_2,e_3$ sono i vettori della base canonica.
Allora $e_1 + W = e_2 + W = W$, ma $e_1,e_2$ sono linearmente indipendenti.
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