Due domande sui sistemi.

[turtle87crociato]

-Tra le proprietà di un sistema:
1) è compatibile;
2 si riduce a gradini;

che rapporto logico c'è: equivalenza o implicazione dell'una verso l'altra?

-Si può dimostrare, senza ricorrere alle matrici ausiliarie del sistema, che esso è compatibile solo se è riducibile a gradini? Finora riesco a intuirlo solo basandomi sui vari casi, anche se magari una "dimostrazione" relativa a un generico sistema $m x n$ (anche da sviluppare da me, mi basterebbe un input, magari) mi potrebbe far dormire "sogni più tranquilli".

[turtle87crociato]

Non capisco. Se le "matrici ausiliarie" sono la matrice dei coefficienti e la matrice orlata, e se non le vuoi considerare, come fai a ridurre a gradini un sistema?

Ok, mi basta. Scusami, ma sono stato io idiota.
In effetti, i sistemi lì ho affrontati in prima istanza senza fare ricorso alle matrici "ausiliarie", econ questo credevo che le matrici fossero "un altro modo per" risolvere i sistemi. La riduzione a gradini io l'ho affrontata prima che studiassi le matrici. Applicavo esattamente quello che alle superiori si chiamava "metodo di riduzione", che almeno da me non è stato mai fatto facendo ricorso alle matrici.

Resta però la prima domanda.
La pongo perchè non so se una risposta possa essere affrontata "solo" facendo ricorso alle matrici, e quidni al Teorema di Rouchè-Capelli (è da spiegarsi solo con quello, in sostanza, la cosa), oppure c'è qualche altra considerazione che ora mi sfugge?

In sostanza, tutto ciò che afferisce i sistemi, e le "loro" dimostrazioni, e le proprietà che li riguardano, sono state scoperte "proprio grazie alle matrici ausiliarie" oppure già prima della scoperta delle associazioni è possibile trovare delle dimostrazioni inerenti le proprietà dei sistemi che siano "indipendenti" dall'utilizzo delle matrici ausiliarie?

Io so, mi è stato detto prima ancora di studiare le matrici, di "introdurle", mi è stato detto che un sistema è compatibile solo se si riduce a gradini, ossia se all'ultima riga, dopo la riduzione a gradini, compare almeno un' incognita con coefficiente diverso da zero, oppure se compare una riga $0=0$, che può essere eliminata. Mentre, se compare una riga del tipo $0=b$, con $b$ diverso da zero, allora il sistema (parlo sempre di sistemi di equazioni lineari) è sicuramente incompatibile.

Queste considerazioni sono "dimostrabili" solo facendo ricorso al teorema di Rouchè- Capelli, oppure ci sono altre dimostrazioni, antecedenti magari al teorema suddetto, che sono capaci di spiegare, di "dimostrare razionalmente" questi accadimenti?

P.S.- Non è la mia classica domanda "storiografica", ma c'è una sottile sfumatura che la diversifica da quelle che pongo spesso.

[turtle87crociato]

Non conosco la storia della soluzione dei sistemi. A quel che posso velocemente vedere su Wikipedia, Cramer (1704-1752), con la sua regola basata sui determinanti, è venuto un bel po' prima di Gauss (1777-1855).

Quindi tu implicitamente sostieni che "forse" lo studio delle matrici applicate ai sistemi sia avvenuto prima della "costituzione" del metodo di riduzione?