Dubbio vettori linearmente dipendenti/indipendente
Buonasera. Devo determinare per quale valore di t due vettori sono linearmente dipendenti e quando non lo sono.
Dati i due vettori u={1,1,t) v={2,t,1} vado a calcolare il determinante, trovando t=2.
Quindi posso dedurre che per t=2 sono linearmente dipendenti. Ora sostituisco il parametro con il valore del determinante quindi 2 e ricalcolo i determinanti per ogni minore 2x2, trovando quindi 0 e -3. Siccome ho trovato un determinante diverso da 0 allora posso affermare che il rango massimo e' 2? Se il rango massimo e' 2 allora ne deduco che e' per t diverso da 2 e' linearmente indipendente?
Dati i due vettori u={1,1,t) v={2,t,1} vado a calcolare il determinante, trovando t=2.
Quindi posso dedurre che per t=2 sono linearmente dipendenti. Ora sostituisco il parametro con il valore del determinante quindi 2 e ricalcolo i determinanti per ogni minore 2x2, trovando quindi 0 e -3. Siccome ho trovato un determinante diverso da 0 allora posso affermare che il rango massimo e' 2? Se il rango massimo e' 2 allora ne deduco che e' per t diverso da 2 e' linearmente indipendente?
Risposte
a me esce che i due vettori sono sempre linearmente indipendenti. riduco la matrice con Gauss e trovo che:
$ ( ( 1 , 2 ),( 0 , 2-t ),( 0 , 2t-1 ) ) $ il rango di questa matrice è sempre 2 sia per $t=2$ che per $t!=2$
$ ( ( 1 , 2 ),( 0 , 2-t ),( 0 , 2t-1 ) ) $ il rango di questa matrice è sempre 2 sia per $t=2$ che per $t!=2$
i due vettori non sono mai dipendenti.questo perchè quando ti calcoli gli orlati(scrviendo i due vettori come righe di una matrice) si annullano per valori diversi,quindi il rango è sempre 2 e per ogni valore di t i due vettori sono sempre Indipendenti 
Chiedo venia. Ho fatto confusione! Avete perfettamente ragione. In questo caso per dimostrare che per valore diversi da t=2 sono l. ind, si puo' prendere un valore arbitrario a caso? Magari 1.
non c'è bisogno di prendere un valore a caso. considera la matrice ridotta che ho postato prima. vogliamo vedere quando ha rango massimo. se $t=2$, sostituendo il valore, otteniamo la matrice:
$ ( ( 1 , 2 ),( 0 , 0 ),( 0 , 3 ) ) $ che ha rango 2 (rango massimo). quindi i vettori sono linearmente indipendenti.
se invece $t!=2$ allora la seconda riga ha un pivot (elemento non nullo) e quindi possiamo ridurre ulteriormente, ottenendo quindi:
$ ( ( 1 , 2 ),( 0 , 2-t ),( 0 , 0 ) ) $ anche questa matrice ha rango massimo perchè ha due pivot, infatti la seconda riga non si annulla mai perchè abbiamo considerato TUTTI i valori di $t$ tranne due (l'unico valore che annulla la riga che però abbiamo già studiato separatamente nel caso precedente). quindi anche per $t!=2$ i vettori sono L.I.
vorrei porre l'accento sul "TUTTI": vale quindi sempre, per qualunque numero tu consideri (tranne 2). questo dimostra ciò che cerchi senza sostituire alcun valore; anche perchè non basterebbe prendere solo un numero (com $1$) dovresti prendere tutti i numeri diversi da 2 e verificare.
spero di essere stato chiaro
$ ( ( 1 , 2 ),( 0 , 0 ),( 0 , 3 ) ) $ che ha rango 2 (rango massimo). quindi i vettori sono linearmente indipendenti.
se invece $t!=2$ allora la seconda riga ha un pivot (elemento non nullo) e quindi possiamo ridurre ulteriormente, ottenendo quindi:
$ ( ( 1 , 2 ),( 0 , 2-t ),( 0 , 0 ) ) $ anche questa matrice ha rango massimo perchè ha due pivot, infatti la seconda riga non si annulla mai perchè abbiamo considerato TUTTI i valori di $t$ tranne due (l'unico valore che annulla la riga che però abbiamo già studiato separatamente nel caso precedente). quindi anche per $t!=2$ i vettori sono L.I.
vorrei porre l'accento sul "TUTTI": vale quindi sempre, per qualunque numero tu consideri (tranne 2). questo dimostra ciò che cerchi senza sostituire alcun valore; anche perchè non basterebbe prendere solo un numero (com $1$) dovresti prendere tutti i numeri diversi da 2 e verificare.
spero di essere stato chiaro
Grazie mille! Gentilissimo e super esaustivo
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