Dubbio teorico diagonalizzazione matrice simmetrica
Buonasera oh esimi matematici e ingegneri ,certo del vostro esperiente sapere chiedo a voi :
data una matrice simmetrica (a coefficienti reali) ,la sua diagonalizzante è sempre una matrice ortogonale ? E se negativo ,in quale caso non lo è ?
Il secondo chiarimento che vi chiedo è il seguente ,trovata la matrice ortogonale che diagonalizza una matrice simmetrica( a coefficienti reali) associata ad un endomorfismo di Rn-prodotto scalare standard ,come posso ottenere una base ortonormale di Rn ?
La mia risposta è la seguente (ma non so se è corretta !!Chiaritemi) : io penso che ( in forza al fatto che autovettori associati ad autovalori distinti sono ortogonali ) se la matrice simmetrica presenta autovalori tutti distinti ,allora avrò come diagonalizzante una matrice ortogonale ( i cui vettori colonna sono già una base ortonormale di Rn ) ;
al contrario se presenta autovalori con molteciplità maggiore di uno la sua diagonalizzante non sarà ortogonale ,tuttavia posso renderla ortogonale applicando Gram-Schmidt e ortonormalizzando i suoi vettori riga o colonna ( i quali in questo modo ,se presi per colonna ,rappresenteranno una base ortonormale di Rn ) è giusto ?
data una matrice simmetrica (a coefficienti reali) ,la sua diagonalizzante è sempre una matrice ortogonale ? E se negativo ,in quale caso non lo è ?
Il secondo chiarimento che vi chiedo è il seguente ,trovata la matrice ortogonale che diagonalizza una matrice simmetrica( a coefficienti reali) associata ad un endomorfismo di Rn-prodotto scalare standard ,come posso ottenere una base ortonormale di Rn ?
La mia risposta è la seguente (ma non so se è corretta !!Chiaritemi) : io penso che ( in forza al fatto che autovettori associati ad autovalori distinti sono ortogonali ) se la matrice simmetrica presenta autovalori tutti distinti ,allora avrò come diagonalizzante una matrice ortogonale ( i cui vettori colonna sono già una base ortonormale di Rn ) ;
al contrario se presenta autovalori con molteciplità maggiore di uno la sua diagonalizzante non sarà ortogonale ,tuttavia posso renderla ortogonale applicando Gram-Schmidt e ortonormalizzando i suoi vettori riga o colonna ( i quali in questo modo ,se presi per colonna ,rappresenteranno una base ortonormale di Rn ) è giusto ?
Risposte
"gianni1413g":
Buonasera oh esimi matematici e ingegneri ,certo del vostro esperiente sapere chiedo a voi :
data una matrice simmetrica (a coefficienti reali) ,la sua diagonalizzante è sempre una matrice ortogonale ? E se negativo ,in quale caso non lo è ?
https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_s ... Caso_reale
La mia risposta è la seguente (ma non so se è corretta !!Chiaritemi) : io penso che ( in forza al fatto che autovettori associati ad autovalori distinti sono ortogonali ) se la matrice simmetrica presenta autovalori tutti distinti ,allora avrò come diagonalizzante una matrice ortogonale ( i cui vettori colonna sono già una base ortonormale di Rn ) ;
al contrario se presenta autovalori con molteciplità maggiore di uno la sua diagonalizzante non sarà ortogonale ,tuttavia posso renderla ortogonale applicando Gram-Schmidt e ortonormalizzando i suoi vettori riga o colonna ( i quali in questo modo ,se presi per colonna ,rappresenteranno una base ortonormale di Rn ) è giusto ?
Il teorema spettrale include già il passo Gram-Schmidt al suo interno, comunque, si, è corretto.
"gianni1413g":
Data una matrice simmetrica (a coefficienti reali) ,la sua diagonalizzante è sempre una matrice ortogonale ?
Non lo hai posto in evidenza, ma è necessario che la matrice simmetrica sia rappresentativa (di un endomorfismo) rispetto a una base ortonormale.
Quindi se la matrice simmetrica è rappresentativa rispetto a una base ortonormale la sua diagonalizzante è per forza di cose ortogonale ,se rappresentativa rispetto ad una base non ortonormale la diagonalizzante potrebbe essere non ortogonale ed in questo caso per renderla ortogonale uso Gram-Schmidt e normalizzo ,giusto?
Questa cosa della rappresentativa ti ha fatto confondere. @Magma: capisco che ti piaccia molto il punto di vista dell'algebra astratta, piace anche a me ma secondo me qui è citato a sproposito.
"gianni1413g":
Quindi se la matrice simmetrica è rappresentativa rispetto a una base ortonormale la sua diagonalizzante è per forza di cose ortogonale ,se rappresentativa rispetto ad una base non ortonormale la diagonalizzante potrebbe essere non ortogonale ed in questo caso per renderla ortogonale uso Gram-Schmidt e normalizzo ,giusto?
Non è questione di rappresentante o non rappresentante. Tu sai che è possibile trovare una matrice diagonalizzante ortonormale. Ora, se trovi una base di autovettori e quella è già ortonormale di suo, li metti in colonna in una bella matrice e hai ottenuto una matrice diagonalizzante ortogonale. Come giustamente dicevi, se gli autovalori sono tutti distinti allora sicuramente gli autovettori sono già ortogonali, e devi solamente dividerli per la loro norma.
Se invece la base di autovettori che hai trovato non fosse ortogonale, la devi rendere tale. Ma la teoria ti dice che i vari autospazi sono tra loro ortogonali, quindi basta applicare Gram-Schmidt sui singoli autospazi con molteplicità maggiore di 1, e normalizzare tutti gli altri autovettori, per ottenere una base ortonormale di autovettori.
"gianni1413g":
se rappresentativa rispetto ad una base non ortonormale [...]
In tal caso, pur apparendo simmetrica, non puoi dire a priori se la matrice sia diagonalizzabile o meno.
"dissonance":
@Magma: […] il punto di vista dell'algebra astratta [...] secondo me qui è citato a sproposito.
In che senso?
@Magma: Gianni ha posto una domanda computazionale, riguardante le matrici. Capisco che tu ti senta più a tuo agio ragionando in termini di endomorfismi, ma a mio avviso questo non giustifica tirarli in ballo sempre, anche quando non sono necessari. Difatti, la risposta di Gianni fa capire che questo cambio di punto di vista ha fatto confondere.
"dissonance":
[…]la risposta di Gianni fa capire che questo cambio di punto di vista lo ha fatto confondere.
A me ha fatto capire che deve studiare di più la teoria prima di approcciarsi agli esercizi
Ad esempio non capisco come fa a giustificare a priori ciò:
"gianni1413g":
[…] in forza al fatto che autovettori associati ad autovalori distinti sono ortogonali, se la matrice simmetrica presenta autovalori tutti distinti, allora avrò come diagonalizzante una matrice ortogonale (i cui vettori colonna sono già una base ortonormale di $RR^n$ )
"Magma":
[quote="gianni1413g"]
Data una matrice simmetrica (a coefficienti reali) ,la sua diagonalizzante è sempre una matrice ortogonale ?
Non lo hai posto in evidenza, ma è necessario che la matrice simmetrica sia rappresentativa (di un endomorfismo) rispetto a una base ortonormale.[/quote]
E se la base non e` ortonormale che succede ? A parte che non ho proprio capito il senso della frase ...ovvero quanto da te detto e necessario per cosa ?
In tal caso, pur apparendo simmetrica, non puoi dire a priori se la matrice sia diagonalizzabile o meno.
Io sapevo che una matrice simmetrica e` sempre diagonalizzabile
"Magma":
[quote="dissonance"][…]la risposta di Gianni fa capire che questo cambio di punto di vista lo ha fatto confondere.
A me ha fatto capire che deve studiare di più la teoria prima di approcciarsi agli esercizi
Ad esempio non capisco come fa a giustificare a priori ciò:
"gianni1413g":[/quote]
[…] in forza al fatto che autovettori associati ad autovalori distinti sono ortogonali, se la matrice simmetrica presenta autovalori tutti distinti, allora avrò come diagonalizzante una matrice ortogonale (i cui vettori colonna sono già una base ortonormale di $ RR^n $ )
Era un errore giustificare a priori il fatto che i vettori fossero gia` normalizzati ,l'ho capito dalla risposta di dissonance che ringrazio per la chiarezza
Magma esempi o richiami teorici per farmi capire quanto da te detto ,grazie
"gianni1413g":
Io sapevo che una matrice simmetrica è sempre diagonalizzabile
Ad ogni matrice $AinM_n(RR)$ possiamo associare un endomorfismo $varphi_A : RR^n -> RR^n$ la cui matrice associata rispetto alla basa canonica è $A$ ([nota]ovvero $M_mathcalE(varphi_A)=A$[/nota]); pertanto $varphi_A$ è definito ponendo
$\varphi_A(v)=Av, qquad v in RR^n$
in questo modo possiamo dire che
una matrice $A$ è diagonalizzabile $hArr varphi_A$ è semplice
Prendendo una matrice simmetrica $S$, l'endomorfismo ad esso associato è autoaggiunto e, per il teorema spettrale, è semplice; quindi $S$ è diagonalizzabile.
Tuttavia,
un endomorfismo $psi$ è autoaggiunto $hArr M_O(psi)$ è simmetrica; con $O$ base ortonormale di $RR^n$
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