Dubbi(o) teorici geometria
Ciao a tutti, non riesco a capire come fare questi due "esercizi" di geometria
1)Dimostrare che l’insieme infinito
$ e_1 = (1, 0, 0, . . .)
$e_2 = (0, 1, 0, . . .)
$ ...
$e_n$ = tutti zeri e un uno in posizione n-esima
$ ...
è un insieme di vettori linearmente indipendenti in $RR^NN$ , ma non è una base.
La dipendenza lineare è facile da dimostrare, ma il fatto che non sia una base?? Le proprietà di una base sono l'essere formata da vettori linearmente indipendenti, e che esistono degli scalari $a_1,a_2,a_3,....$ tali che per ogni $v$ dello spazio vettoriale (in questo caso $RR^NN$) $v=a_1e_1,a_2e_2,....$ e mi pare si trovi... dove sta l'inghippo?
1)Dimostrare che l’insieme infinito
$ e_1 = (1, 0, 0, . . .)
$e_2 = (0, 1, 0, . . .)
$ ...
$e_n$ = tutti zeri e un uno in posizione n-esima
$ ...
è un insieme di vettori linearmente indipendenti in $RR^NN$ , ma non è una base.
La dipendenza lineare è facile da dimostrare, ma il fatto che non sia una base?? Le proprietà di una base sono l'essere formata da vettori linearmente indipendenti, e che esistono degli scalari $a_1,a_2,a_3,....$ tali che per ogni $v$ dello spazio vettoriale (in questo caso $RR^NN$) $v=a_1e_1,a_2e_2,....$ e mi pare si trovi... dove sta l'inghippo?
Risposte
Secondo me la soluzione va ricercata nel fatto che una base è anche un insieme massimale di vettori linearmente indipendenti. Dato che l'insieme è infinito, esiste sempre un $m \in NN | m > n$, quindi esisterà sempre un $v_m$ che rende l'insieme $v_0, \cdots, v_n, v_m$, linearmente indipendente. Per questo, preso $m$ qualsiasi, $v_0, \cdots, v_n$ non è più un insieme massimale di vettori linearmente indipendenti quindi non è una base di $RR^{NN}$
mmm ma questo vorrebbe dire che non esistono basi per uno spazio infinito... o no?
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