Dubbio sullo studio di Fasci di Coniche
Salve a tutti,
Nell'ipotesi che un certo fascio di coniche in $\mathbb{R}^2$ contenga almeno 3 parabole, cosa si può dire sul tipo affine di tutte coniche non degeneri del fascio?
Posto che il testo si limita praticamente solo a questo, non saprei da dove iniziare per dare una risposta corretta e rigorosa. Ho congetturato, dopo un pò di tentativi e di ricerche infruttuose in rete, che la risposta sia che sono tutte delle parabole.
Questo perchè so che di sicuro se ho due parabole generatrici con assi di simmetria coincidenti ho almeno 3 parabole oltre alle due generatrici. Però andrebbe fatto vedere che nel caso di assi non paralleli ci sono solo le parabole generatrici. Il fatto è che non posso credere che per risolvere un esercizio del genere bisogni farsi tutti i casi e discutere mille parametri. Dov'è il trucco? Spero che qualcuno voglia aiutarmi.
grazie in anticipo
Nell'ipotesi che un certo fascio di coniche in $\mathbb{R}^2$ contenga almeno 3 parabole, cosa si può dire sul tipo affine di tutte coniche non degeneri del fascio?
Posto che il testo si limita praticamente solo a questo, non saprei da dove iniziare per dare una risposta corretta e rigorosa. Ho congetturato, dopo un pò di tentativi e di ricerche infruttuose in rete, che la risposta sia che sono tutte delle parabole.
Questo perchè so che di sicuro se ho due parabole generatrici con assi di simmetria coincidenti ho almeno 3 parabole oltre alle due generatrici. Però andrebbe fatto vedere che nel caso di assi non paralleli ci sono solo le parabole generatrici. Il fatto è che non posso credere che per risolvere un esercizio del genere bisogni farsi tutti i casi e discutere mille parametri. Dov'è il trucco? Spero che qualcuno voglia aiutarmi.
grazie in anticipo
Risposte
Ho trovato anche questo documento in rete:
http://deim.urv.cat/~manlio.dedomenico/res/coniche.pdf
Per favore, qualcuno potrebbe spiegarmi almeno dove posso trovare del materiale che giustifichi le proprietà dei fasci di coniche qui elencate (senza nè spiegazione, nè dimostrazione, nè bibliografia) nel paragrafo 6? Vi prego. Ci sto impazzendo dietro questa cosa. Più che altro le due proprietà sulle parabole, che sono quelle che servono a me...
http://deim.urv.cat/~manlio.dedomenico/res/coniche.pdf
Per favore, qualcuno potrebbe spiegarmi almeno dove posso trovare del materiale che giustifichi le proprietà dei fasci di coniche qui elencate (senza nè spiegazione, nè dimostrazione, nè bibliografia) nel paragrafo 6? Vi prego. Ci sto impazzendo dietro questa cosa. Più che altro le due proprietà sulle parabole, che sono quelle che servono a me...
Una possibile soluzione ( anche se non elegantissima) può essere la seguente .
Indichiamo le due coniche con :
$c_1: ax^2+2bxy+cy^2+dx+ey+f=0$
$c_2: mx^2+2nxy+py^2+qx+ry+s=0$
Il fascio di coniche da esse determinato avrà equazione :
$lambda(ax^2+2bxy+cy^2+dx+ey+f)+mu(mx^2+2nxy+py^2+qx+ry+s)=0$
Ovvero :
$ (lambda a+mu m) x^2+2(lambda b+ mu n)xy+(lambda c+ mu p)y^2+(lambda d+mu q)x+(lambda e+ mu r)y+(lambda f+mu s)=0$
Le parabole del fascio, per regole note, si ottengono imponendo la condizione:
$(lambda b+ mu n)^2- (lambda a+mu m)(lambda c+ mu p)=0$
Ovvero:
$(b^2-ac)lambda^2+(2bn-ap-cm)lambda mu+(n^2-mp)mu^2=0$
Risolvendo la precedente equazione rispetto a $lambda $ ( o rispetto a $mu$) si ottengono due soluzione e quindi due parabole del fascio. Se se ne vogliono 3 o più occorre annullare tutti i coefficienti dell'ultima equazione e in tal modo si ottengono infinite parabole. Ora, annullando questi coefficienti, si ha il sistema :
\(\displaystyle \begin{cases}b^2-ac=0\\n^2-mp=0\\ 2bn-ap-cm=0\end{cases} \)
Le prime due equazioni del sistema indicano che le coniche $c_1,c_2$ devono essere due parabole. Queste però da sole non determinano un fascio di tutte parabole perché per avere ciò deve essere soddisfatta una ulteriore condizione, rappresentata dalla terza equazione del sistema. Vediamo quindi come va interpretata questa condizione supplementare.
Cominciamo con l'osservare che , sotto la condizione $b^2-ac=0$, la parabola $c_1$ ha un solo punto improprio doppio ( fai te i calcoli):
$P_{\infty}(b,-a,0)$
e, sotto al condizione $n^2-mp=0$, la parabola $c_2$ ha egualmente un punto doppio improprio dato da :
$Q_{\infty}(n,-m,0)$
Ora il precedente sistema si può scrivere così:
\(\displaystyle \begin{cases}c=b^2/a\\p=n^2/m\\ 2bn-ap-cm=0\end{cases} \)
Sostituendo i valori di c e di p nella terza equazione si ha la condizione :
$2bn-{an^2}/m-{b^2m}/a=0$
da cui :
$(bm-an)^2=0$
Ed infine :
$b/n=a/m$
Quest'ultima eguaglianza ci dice che i punti $P_{infty},Q_{infty}$ coincidono, avendo essi le coordinate (proiettive, non nulle ) proporzionali. Si conclude che per ottenere un fascio di coniche che siano tutte parabole é necessario e sufficiente che le due coniche che si combinano per generare il fascio siano entrambe parabole e col medesimo punto improprio.
Indichiamo le due coniche con :
$c_1: ax^2+2bxy+cy^2+dx+ey+f=0$
$c_2: mx^2+2nxy+py^2+qx+ry+s=0$
Il fascio di coniche da esse determinato avrà equazione :
$lambda(ax^2+2bxy+cy^2+dx+ey+f)+mu(mx^2+2nxy+py^2+qx+ry+s)=0$
Ovvero :
$ (lambda a+mu m) x^2+2(lambda b+ mu n)xy+(lambda c+ mu p)y^2+(lambda d+mu q)x+(lambda e+ mu r)y+(lambda f+mu s)=0$
Le parabole del fascio, per regole note, si ottengono imponendo la condizione:
$(lambda b+ mu n)^2- (lambda a+mu m)(lambda c+ mu p)=0$
Ovvero:
$(b^2-ac)lambda^2+(2bn-ap-cm)lambda mu+(n^2-mp)mu^2=0$
Risolvendo la precedente equazione rispetto a $lambda $ ( o rispetto a $mu$) si ottengono due soluzione e quindi due parabole del fascio. Se se ne vogliono 3 o più occorre annullare tutti i coefficienti dell'ultima equazione e in tal modo si ottengono infinite parabole. Ora, annullando questi coefficienti, si ha il sistema :
\(\displaystyle \begin{cases}b^2-ac=0\\n^2-mp=0\\ 2bn-ap-cm=0\end{cases} \)
Le prime due equazioni del sistema indicano che le coniche $c_1,c_2$ devono essere due parabole. Queste però da sole non determinano un fascio di tutte parabole perché per avere ciò deve essere soddisfatta una ulteriore condizione, rappresentata dalla terza equazione del sistema. Vediamo quindi come va interpretata questa condizione supplementare.
Cominciamo con l'osservare che , sotto la condizione $b^2-ac=0$, la parabola $c_1$ ha un solo punto improprio doppio ( fai te i calcoli):
$P_{\infty}(b,-a,0)$
e, sotto al condizione $n^2-mp=0$, la parabola $c_2$ ha egualmente un punto doppio improprio dato da :
$Q_{\infty}(n,-m,0)$
Ora il precedente sistema si può scrivere così:
\(\displaystyle \begin{cases}c=b^2/a\\p=n^2/m\\ 2bn-ap-cm=0\end{cases} \)
Sostituendo i valori di c e di p nella terza equazione si ha la condizione :
$2bn-{an^2}/m-{b^2m}/a=0$
da cui :
$(bm-an)^2=0$
Ed infine :
$b/n=a/m$
Quest'ultima eguaglianza ci dice che i punti $P_{infty},Q_{infty}$ coincidono, avendo essi le coordinate (proiettive, non nulle ) proporzionali. Si conclude che per ottenere un fascio di coniche che siano tutte parabole é necessario e sufficiente che le due coniche che si combinano per generare il fascio siano entrambe parabole e col medesimo punto improprio.
Ti ringrazio moltissimo ciromario. Mi sei stato molto utile. Qui di seguito invierò comunque un mio contributo visto che sono andato a ricevimento, così magari avrò la possibilità di aiutare qualcun altro (incrementando il mio karma) con qualcosa più da "primo anno"...
Soluzione:
Dato $C_{\lambda,\mu}(x,y):=\lambda f(x,y)+\mu g(x,y)$ il fascio di coniche, dove $\lambda,\mu$ non entrambi nulli, l'ipotesi: "$\exists$ almeno 3 parabole" si può così rappresentare:
$\exists (\lambda_1,\mu_1), (\lambda_2,\mu_2), (\lambda_3,\mu_3)$ vettori di $\mathbb{R}^2$, a due a due non multipli.
(OSS: è un pò come se lo spazio delle coniche fosse uno spazio vettoriale e le coppie come sopra rappresentassero le "coordinate" delle coniche in questo strano spazio di cui $f,g$ costituiscono una "base". Il problema di questa interpretazione è che queste coppie non rappresentano univocamente una conica del fascio, come si potrebbe dire invece di un vettore. Infatti, tutti i multipli non nulli di una stessa coppia sono "lo stesso punto", in realtà, tramite la proiezione al quoziente, che manda tutti i punti di una stessa retta (per l'origine) nello stesso punto. Meglio ancora, multipli non nulli della stessa coppia rappresentano, in questo caso, la stessa conica del fascio.Vedere nozioni di geometria proiettiva)
Se rappresentassimo il fascio di coniche iniziale tramite la notazione matriciale 3x3
$$Q=\begin{pmatrix}
A & b\\
{}^tb & c
\end{pmatrix}$$
$$Q'=\begin{pmatrix}
A' & b'\\
{}^tb' & c'
\end{pmatrix}$$
allora a $\C_{\lambda,\mu}$ è associata $$\lambda Q+ \mu Q' = \begin{pmatrix}
\lambda A+\mu A' & \lambda b+ \mu b'\\
\lambda {}^tb + \mu {}^tb'& \lambda c + \mu c'
\end{pmatrix}$$
potremmo chiederci quali sono tutte le coniche del fascio (rappresentate dalle coppie di multipli di $(\lambda,\mu)$ ) tali che il determinante della sottomatrice relativa alla parte quadratica sia nullo (dimodochè abbia rango 1 o 0) e quindi trovare tutte le coppie $(\lambda,\mu)$ reali per cui $C_{\lambda,\mu}(x,y)$ sia una parabola.
Stiamo supponendo che $A$ sia la matrice 2x2 (come sopra) relativa ad $f$ ed $A'$ quella relativa a $g$.
Sia $p(\lambda,\mu):=det(\lambda A+\mu A')$. Quest ultimo è un polinomio omogeneo di grado 2 nelle variabili $(\lambda,\mu)$. Sviluppandolo (i coefficienti saranno funzioni di quelli delle due matrici) avremo $p(\lambda,\mu)=\alpha \lambda^2+\beta \lambda \mu + \gamma \mu^2$
Vorremmo vedere quando è annullato.
Di sicuro tutte e tre le coppie distinte di cui nell'ipotesi annullano il polinomio. Ma prima osserviamo che almeno 2 tra i $lambda_i$ sono non nulli. WLOG per $i\in{1,2}$.
A questo punto posso chiamare (ricordando quanto detto nell'OSS) $\theta_i:=\frac{\mu_i}{\lambda_i}$ per $i\in{1,2}$.
Allora $(1,\theta_1), (1,theta_2)$ sono soluzioni per il polinomio, allora vale:
$\alpha +\beta \theta_i+\gamma \theta_i^2=0$ per $i\in{1,2}$.
Se anche $\lambda_3 \ne 0$, avrei 3 soluzioni di un polinomio di grado 2, di cui la terza sarebbe appunto $\theta_3:=\frac{\mu_3}{\lambda_3}$. Allora l'unico modo in cui posso avere tre soluzioni in un polinomio di grado 2 è che il polinomio sia nullo, perciò $\alpha=beta=gamma=0$.
Analogamente, se $\lambda_3=0$ e $\mu_3 \ne 0$, con $\theta_3$ soluzione avrei che $\gamma=0$, perciò $theta_1,theta_2$ risolverebbero $\alpha+beta\mu=0$ che è di 1° grado e dovrebbe avere due soluzioni. Allora $\alpha=beta=0$.
Allora in generale vale che per il fascio di coniche in cui esistono tre parabole distinte $p(\lambda,\mu)$ è costantemente nullo $\forall \lambda,\mu \in \mathbb{R}$, allora tutte le coniche del fascio, in queste ipotesi, sono tutte parabole se non sono degeneri.
Dato $C_{\lambda,\mu}(x,y):=\lambda f(x,y)+\mu g(x,y)$ il fascio di coniche, dove $\lambda,\mu$ non entrambi nulli, l'ipotesi: "$\exists$ almeno 3 parabole" si può così rappresentare:
$\exists (\lambda_1,\mu_1), (\lambda_2,\mu_2), (\lambda_3,\mu_3)$ vettori di $\mathbb{R}^2$, a due a due non multipli.
(OSS: è un pò come se lo spazio delle coniche fosse uno spazio vettoriale e le coppie come sopra rappresentassero le "coordinate" delle coniche in questo strano spazio di cui $f,g$ costituiscono una "base". Il problema di questa interpretazione è che queste coppie non rappresentano univocamente una conica del fascio, come si potrebbe dire invece di un vettore. Infatti, tutti i multipli non nulli di una stessa coppia sono "lo stesso punto", in realtà, tramite la proiezione al quoziente, che manda tutti i punti di una stessa retta (per l'origine) nello stesso punto. Meglio ancora, multipli non nulli della stessa coppia rappresentano, in questo caso, la stessa conica del fascio.Vedere nozioni di geometria proiettiva)
Se rappresentassimo il fascio di coniche iniziale tramite la notazione matriciale 3x3
$$Q=\begin{pmatrix}
A & b\\
{}^tb & c
\end{pmatrix}$$
$$Q'=\begin{pmatrix}
A' & b'\\
{}^tb' & c'
\end{pmatrix}$$
allora a $\C_{\lambda,\mu}$ è associata $$\lambda Q+ \mu Q' = \begin{pmatrix}
\lambda A+\mu A' & \lambda b+ \mu b'\\
\lambda {}^tb + \mu {}^tb'& \lambda c + \mu c'
\end{pmatrix}$$
potremmo chiederci quali sono tutte le coniche del fascio (rappresentate dalle coppie di multipli di $(\lambda,\mu)$ ) tali che il determinante della sottomatrice relativa alla parte quadratica sia nullo (dimodochè abbia rango 1 o 0) e quindi trovare tutte le coppie $(\lambda,\mu)$ reali per cui $C_{\lambda,\mu}(x,y)$ sia una parabola.
Stiamo supponendo che $A$ sia la matrice 2x2 (come sopra) relativa ad $f$ ed $A'$ quella relativa a $g$.
Sia $p(\lambda,\mu):=det(\lambda A+\mu A')$. Quest ultimo è un polinomio omogeneo di grado 2 nelle variabili $(\lambda,\mu)$. Sviluppandolo (i coefficienti saranno funzioni di quelli delle due matrici) avremo $p(\lambda,\mu)=\alpha \lambda^2+\beta \lambda \mu + \gamma \mu^2$
Vorremmo vedere quando è annullato.
Di sicuro tutte e tre le coppie distinte di cui nell'ipotesi annullano il polinomio. Ma prima osserviamo che almeno 2 tra i $lambda_i$ sono non nulli. WLOG per $i\in{1,2}$.
A questo punto posso chiamare (ricordando quanto detto nell'OSS) $\theta_i:=\frac{\mu_i}{\lambda_i}$ per $i\in{1,2}$.
Allora $(1,\theta_1), (1,theta_2)$ sono soluzioni per il polinomio, allora vale:
$\alpha +\beta \theta_i+\gamma \theta_i^2=0$ per $i\in{1,2}$.
Se anche $\lambda_3 \ne 0$, avrei 3 soluzioni di un polinomio di grado 2, di cui la terza sarebbe appunto $\theta_3:=\frac{\mu_3}{\lambda_3}$. Allora l'unico modo in cui posso avere tre soluzioni in un polinomio di grado 2 è che il polinomio sia nullo, perciò $\alpha=beta=gamma=0$.
Analogamente, se $\lambda_3=0$ e $\mu_3 \ne 0$, con $\theta_3$ soluzione avrei che $\gamma=0$, perciò $theta_1,theta_2$ risolverebbero $\alpha+beta\mu=0$ che è di 1° grado e dovrebbe avere due soluzioni. Allora $\alpha=beta=0$.
Allora in generale vale che per il fascio di coniche in cui esistono tre parabole distinte $p(\lambda,\mu)$ è costantemente nullo $\forall \lambda,\mu \in \mathbb{R}$, allora tutte le coniche del fascio, in queste ipotesi, sono tutte parabole se non sono degeneri.
@mariox89
Beh, certamente la mia soluzione non pretende di essere poco pesante o elegante, in quanto gli strumenti teorici che ha messo in campo ciromario sono di geometria proiettiva, e senza dubbio più raffinati della semplice algebra lineare.
Era più una soluzione per chi vuole risolvere questo problema da un punto di vista più elementare dell'algebra lineare. Usa idee elementari che probabilmente possono essere utili in qualche altro contesto, perciò ho ritenuto che valesse la pena scriverla.
Il vantaggio è anche mio, così qualora fosse scritta non troppo bene, qualcuno la correggerebbe.
ciao ciao
Beh, certamente la mia soluzione non pretende di essere poco pesante o elegante, in quanto gli strumenti teorici che ha messo in campo ciromario sono di geometria proiettiva, e senza dubbio più raffinati della semplice algebra lineare.
Era più una soluzione per chi vuole risolvere questo problema da un punto di vista più elementare dell'algebra lineare. Usa idee elementari che probabilmente possono essere utili in qualche altro contesto, perciò ho ritenuto che valesse la pena scriverla.
Il vantaggio è anche mio, così qualora fosse scritta non troppo bene, qualcuno la correggerebbe.
ciao ciao
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo