Dubbio sullo spazio $M_{5\times 5}(R)$
Salve a tutti, stavo pensando ad una cosa...
Se ho il mio spazio delle matrici quadrate 5x5 a termini reali SIMMETRICHE, quindi lavoro con lo spazio $M_{5\times 5}$ : $A\in M_{5\times 5} \text{simmetrica} $ ALLORA....Che base posso attribuire a qeusto spazio ? Ho cercato di fare un serie di ragionamenti considerando tutte le possibili forme delle matrici 5x5 che sono simmetriche ...... ma questo mi risulta un procedimento alquanto laborioso e inconcludende ..... voi avete qualche idea ..... che abase attribuireste a questo spazio ?
Grazie a tutti !
Saluti
Ste
Se ho il mio spazio delle matrici quadrate 5x5 a termini reali SIMMETRICHE, quindi lavoro con lo spazio $M_{5\times 5}$ : $A\in M_{5\times 5} \text{simmetrica} $ ALLORA....Che base posso attribuire a qeusto spazio ? Ho cercato di fare un serie di ragionamenti considerando tutte le possibili forme delle matrici 5x5 che sono simmetriche ...... ma questo mi risulta un procedimento alquanto laborioso e inconcludende ..... voi avete qualche idea ..... che abase attribuireste a questo spazio ?
Grazie a tutti !
Saluti
Ste
Risposte
Lo faccio per un 3 x 3, ovviamente 5 x 5 è simile ma più lungo da scrivere in mathml:
Ogni matrice è della forma $((a, b, c),(b, d, e),(c, e, f))$ quindi hai che la dimensione è 6 e come base ti basta prendere 6 matrici in cui a turno un'unica lettera vale 1 e le altre 0...
Ogni matrice è della forma $((a, b, c),(b, d, e),(c, e, f))$ quindi hai che la dimensione è 6 e come base ti basta prendere 6 matrici in cui a turno un'unica lettera vale 1 e le altre 0...
Vero ! ...ok .... allora adesso mi è venuta un'altra domanda ... prendo lo spazio generico delle matrici quadrate 5x5 ...... e se fossi interessato a studiare quante matrici SIMMETRICHE del tipo $A\inM_{5\times5}(\mathcal{R})$ sono linearmente indipendenti ... voi come agireste ?
Si ok la base generica di $M_{5\times 5}(R)$ come hai scritto tu è banale .... ma io sono interessato a cattar fuori quelle simmetriche !
scusate ma mi è venuto sto pallino mentre ero a pranzo ! ....matrici simmetriche linearmente indipendenti in M_{5x5}
scusate ma mi è venuto sto pallino mentre ero a pranzo ! ....matrici simmetriche linearmente indipendenti in M_{5x5}
Sia $E_{ij}$ la matrice con un $1$ nel $j$-esimo elemento della $i$-esima riga. Se le vuoi simmetriche basta prendere le 5 matrici $E_{ii}$, cioè le matrici che formano la diagonale principale, e poi le matrici $E_{ij} + E_{ji}$ con $i < j$. Nel caso $3x3$ sono ad esempio:
$((1,0,0),(0,0,0),(0,0,0)), ((0,0,0),(0,1,0),(0,0,0)), ((0,0,0),(0,0,0),(0,0,1)), ((0,1,0),(1,0,0),(0,0,0)), ((0,0,1),(0,0,0),(1,0,0)), ((0,0,0),(0,0,1),(0,1,0))$
Volendo calcolare la dimensione dello spazio vettoriale è sufficiente osservare che gli unici elementi indipendenti di una matrice simmetrica sono quelli della diagonale e sopra di essa. La dimensione è quindi $n + (n(n-1))/2$
$((1,0,0),(0,0,0),(0,0,0)), ((0,0,0),(0,1,0),(0,0,0)), ((0,0,0),(0,0,0),(0,0,1)), ((0,1,0),(1,0,0),(0,0,0)), ((0,0,1),(0,0,0),(1,0,0)), ((0,0,0),(0,0,1),(0,1,0))$
Volendo calcolare la dimensione dello spazio vettoriale è sufficiente osservare che gli unici elementi indipendenti di una matrice simmetrica sono quelli della diagonale e sopra di essa. La dimensione è quindi $n + (n(n-1))/2$
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