Dubbio sulla riduzione a scalini di una matrice parametrica
Ringrazio in anticipo chiunque voglia aiutarmi.
Supponiamo che io debba risolvere un sistema lineare la cui matrice dei coefficienti (ed eventualmente anche la colonna dei termini noti) dipenda da un parametro k. Per sapere se il sistema lineare è compatibile, applico Rouchè-Capelli e per fare ciò ho bisogno di ridurre la matrice (A|b) a scalini.
Il mio dubbio è il seguente: se nell'annullare un elemento ho bisogno, ad esempio, di dividere per k imponendo che k sia diverso da 0, come devo considerare questa condizione? Nel senso che l'ho dovuta imporre per ridurre la matrice a scalini, ma questo significa anche che è necessaria affinché il sistema abbia soluzione?
Un esempio pratico:
Consideriamo la matrice (A|b) seguente
$ ( ( 1 , 0 , k , 0 , 0 ),( 0 , 1 , k , -1 , 0 ),( 1 , 0 , 0 , 2 , 0 ),( 0 , 1 , 2 , -3 , 1 ),( 0 , 0 , 2k-2 , 0 , -1 ) ) $
Dopo qualche passaggio dell'algoritmo di Gauss ottengo
$ ( ( 1 , 0 , k , 0 , 0 ),( 0 , 1 , k , -1 , 0 ),( 0 , 0 , -k , 2 , 0 ),( 0 , 0 , 2-k , -2 , 1 ),( 0 , 0 , 2k-2 , 0 , -1 ) ) $
A questo punto, il modo normale di procedere è annullare l'elemento della 4° riga e 3° colonna, cioè 2-k. Per fare ciò, d'altra parte, dove sommare alla riga 4 la riga 3 moltiplicata per (2-k)/k, e per fare ciò devo porre k diverso da 0.
La domanda è allora, questa condizione su k deve essere considerata fra quelle necessarie alla compatibilità del sistema?
Supponiamo che io debba risolvere un sistema lineare la cui matrice dei coefficienti (ed eventualmente anche la colonna dei termini noti) dipenda da un parametro k. Per sapere se il sistema lineare è compatibile, applico Rouchè-Capelli e per fare ciò ho bisogno di ridurre la matrice (A|b) a scalini.
Il mio dubbio è il seguente: se nell'annullare un elemento ho bisogno, ad esempio, di dividere per k imponendo che k sia diverso da 0, come devo considerare questa condizione? Nel senso che l'ho dovuta imporre per ridurre la matrice a scalini, ma questo significa anche che è necessaria affinché il sistema abbia soluzione?
Un esempio pratico:
Consideriamo la matrice (A|b) seguente
$ ( ( 1 , 0 , k , 0 , 0 ),( 0 , 1 , k , -1 , 0 ),( 1 , 0 , 0 , 2 , 0 ),( 0 , 1 , 2 , -3 , 1 ),( 0 , 0 , 2k-2 , 0 , -1 ) ) $
Dopo qualche passaggio dell'algoritmo di Gauss ottengo
$ ( ( 1 , 0 , k , 0 , 0 ),( 0 , 1 , k , -1 , 0 ),( 0 , 0 , -k , 2 , 0 ),( 0 , 0 , 2-k , -2 , 1 ),( 0 , 0 , 2k-2 , 0 , -1 ) ) $
A questo punto, il modo normale di procedere è annullare l'elemento della 4° riga e 3° colonna, cioè 2-k. Per fare ciò, d'altra parte, dove sommare alla riga 4 la riga 3 moltiplicata per (2-k)/k, e per fare ciò devo porre k diverso da 0.
La domanda è allora, questa condizione su k deve essere considerata fra quelle necessarie alla compatibilità del sistema?
Risposte
Sì, certamente. Ma non è un grosso problema; in generale tu sai quale (o quali) valore di $k$ invalidano la riduzione a scalini quindi basta rifarla anche sostituendo $k$ con quel (o quei) valore e vedere cosa succede in tal caso.
Beh, potresti scambiare la terza e la quarta colonna prima di incasinarti coi parametri.
"axpgn":
Sì, certamente. Ma non è un grosso problema; in generale tu sai quale (o quali) valore di $k$ invalidano la riduzione a scalini quindi basta rifarla anche sostituendo $k$ con quel (o quei) valore e vedere cosa succede in tal caso.
Quindi è comunque necessario ricontrollare. Ricevuto, grazie!
"gugo82":
Beh, potresti scambiare la terza e la quarta colonna prima di incasinarti coi parametri.
Si giusto, così si risolve senza neanche porsi la questione.
Allora risolto.
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