Dubbio sulla forma di Jordan

[Gauss95]

Ho un dubbio riguardo a un caso particolare della forma di jordan di una matrice. Se la matrice nxn che ci interessa ha un solo autovalore di molteplicità algebrica n e geometrica 1 (quindi un solo blocco) si verifica sempre che (A-lambdaI)^n=0. Tuttavia questo risultato non mi è stato dimostrato a lezione e mi piacerebbe sapere come mai è sempre verificato.

[Gauss95]

Ciao, grazie per la risposta, solo che forse è un po troppo complicata perchè molti degli argomenti trattati nella pagina che mi hai mandato non li abbiamo svolti, in quanto la forma di Jordan è stato l'ultimo argomento trattato a lezione e apparte l'algoritmo per mettere una matrice in forma di Jordan a livello di teoria che ci sta dietro abbiamo fatto ben poco. Mi chiedevo se magari c'era un modo un po più semplice e diretto.

[Gauss95]

Io avevo pensato ad esempio prendiamo una matrice 3x3 in forma di Jordan con con un solo blocco autovalore lambda sulla diagonale e uno sopra. Allora vedo subito che E1(vettore della base canonica) appartiene al Ker (A-lambdaI) che è lo span (Ei). Poi E2 apparteiene al Ker (A-lambdaI)^2 che è lo span (E1,E2) ed E3 al Ker (A-lambdaI)^3 che è tutto lo spazio C^3. Analogamente per una 4x4 e così via. Si potrebbe allora esternerlo per induzione ad una matrice nxn con un solo autovalore lambda e poi avendo finora ragionato solo sulla matrice già jordanizzata estenderlo ad una matrice generica dato che il discorso vale comunque per un applicazione lineare?

[Gauss95]

Ok ti ringrazio, anche se effettivamente avrei preferito poterlo dimostrare solo con le conoscenze che già possedevo senza sconodare altri risultati come la scomposizione della matrice perchè così dovrò inevitabilmente guardarmi anche la dimostrazione di quel risultato altrimenti non mi piacerebbe usarlo.

[Gauss95]

Grazie mille gentilissimo. Infatti anche io ho studiato sul Lang che non tratta la forma di Jorda quindi avendo a lezione visto in pratica solo come mettere una matrice in forma di Jordan mi sono studiato qua e là su internet la teoria che c'è dietro. Mi terro caro l'esempio per quando in analisi arriveremo a fare le equazioni differenziali anche perchè penso siano molto prossime.