Dubbio sulla forma canonica di una conica

[Exa20]

Buonasera a tutti ,

risolvendo esercizi sulla forma canonica delle coniche, mi è sorto un dubbio. Quando vado a trovare la matrice ortogonale per la rotazione della conica, posso scrivere sia la matrice che fa compiere una rotazione oraria che quella antioraria. Dunque la conica iniziale si troverà con gli assi paralleli o all'asse $x$ o all'asse $y$. Quindi è indifferente se la scrivo in un modo o nell'altro??

Per farvi capire meglio di seguito farò un esempio;

Prendiamo in considerazione la conica seguente,

\begin{equation*}
5x^2 + 5 y^2 -6xy + 16\sqrt2 x + 38 = 0.
\end{equation*}

Consideriamo quindi la matrice di tutti i coefficienti $A$ e quella dei coefficienti dei termini quadratici $B$,

\begin{align*}
A = \begin{pmatrix}
5 & -3 & 8\sqrt{2} \\ -3 & 5 & 0 \\ 8\sqrt{2} & 0 & 38
\end{pmatrix} \qquad
B = \begin{pmatrix}
5 & -3 \\ -3 & 5
\end{pmatrix} \qquad
\det(A) = - 32 \neq 0 \qquad
\det(B) = 16 > 0,
\end{align*}

con le quali notiamo che la conica presa in esame è un ellisse.

Passando poi a calcolare gli autovalori della matrice $B$, troviamo che $\lambda_1 = 2$ e che $\lambda_2 = 8$.
Poi calcolando gli autovettori associati in ordine a $\lambda_1$ e $\lambda_2$ avremo,

\begin{align*}
\begin{pmatrix}
1 & 1
\end{pmatrix},
\qquad
\begin{pmatrix}
1 & -1
\end{pmatrix}.
\end{align*}

Sappiamo, dal teorema spettrale, che i due vettori sono ortogonali, perciò bisogna solo normalizzarli per creare la matrice ortogonale. Ma posso creare due matrici ortogonali, infatti posso riscrivere la seconda colonna con gli elementi cambiati di segno, visto che l'equazione che descrive l'autospazio è questa $$x + y = 0.$$
Una volta fatta questa operazione basta scambiare l'ordine delle colonne e avremo due matrici ortogonali.

\begin{align*}
P = \begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix} \qquad
R = \begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}.
\end{align*}

Procedendo con entrambe le matrici troviamo quindi le equazioni dell'ellisse con semiasse maggiore parallelo a $x$ ed a $y$,


\begin{align*}
x^2 + 4y^2 = 1 \qquad 4x^2 + y^2 = 1.
\end{align*}

Il dubbio poi si amplifica se penso al metodo degli invarianti, nel quale l'equazione dell'ellisse è la seguente,

$$ \lambda_1 x^2 + \lambda_2 y^2 + t = 0$$

con gli autovalori davanti ai termini quadratici e $t$ rappresenta il parametro da trovare..
Insomma anche qui è indifferente la posizione degli autovalori??

Ringrazio tutti in anticipo....

[Vicia]

Ciao!
Se ruoti la tua conica in senso orario o antiorario stai parlando sempre della stessa conica quindi non muta. Non conosco il metodo degli invarianti ma comunque anche qui penso che non cambi

[Exa20]

Innanzitutto grazie della risposta.

Io ero giunto alla stessa conclusione, solo che volevo capire meglio se all'esame avrei dovuto scriverla in un modo o nell'altro. Comunque a quanto pare è indifferente.

[Vicia]

Si penso che sia indifferente, perchè la conica è sempre quella. Però non conoscendo questo metodo non ti do sa dare la certezza. Puoi provare a verificarlo. Ti trovi le due coniche con quel metodo prima in senso orario e poi in senso orario e poi verifichi se effettivamente sono le stesse coniche o meno

[Exa20]

Sisi ho verificato in mille modi, anche graficamente, sono le stesse. L'unica differenza è il posizionamento, visto che ho applicato una rototraslazione.