Dubbio sulla dimostrazione del teorema spettrale.

[tranesend]

Il professore ha dato questa dimostrazione del teorema spettrale. Mi serve sapere se è giusta o se manca qualcosa in quanto non mi garba troppo come dimostrazione, forse perchè mi sono perso un pezzo eheh.
In pratica io voglio dimostrare che se ho:
$\phi$: $V$ $X$ $V$ $rightarrow$ $RR$ come forma bilineare simmetrica e
$C$: $V$ $rightarrow$ $RR$ una forma bilineare simmetrica definita positiva.
Allora $EE$ una base $S$ dello spazio vettoriale $V$ che è $C$-ortogonale e $\phi$-ortogonale.

Dimostrazione:
Se prendo $W$ come sottospazio di $V$ posso considerare l'applicazione $\phi$ ristretta ai vettori di $W$.
Ossia considero i prodotti scalari solo dei vettori appartenenti al sottospazio $W$.
Dopodichè procedo con un metodo ricorsivo.
Se $dim$$V$=1 la base esiste perchè le matrici $1x1$ sono tutte diagonali.
Ora suppongo che valga per $n-1$ per dimostrare che vale per $n$.
Se prendo una base $B=(u(1),....,u(n))$ $C$-ortonormale di $V$ e prendo un vettore $\beta$ $in$ $W$.
Se considero il sottospazio $W$(ortogonale) che è il sottospazio $C$-ortogonale a $\beta$, allora $dimW$(ortogonale)$=n-1$.
$W$ ha dunque una base generata dai vettori $(\alpha(1),....,alpha(n-1))$ che è una base $C$-ortogonale e $/phi$-ortogonale. Se aggiungo $\beta$ a questa base, ottengo la base ricercata. Dunque se ho una matrice simmetrica esiste una base ortogonale di autovettori che la diagonalizza. Potete dirmi se questa dimostrazione è corretta o se manca qualcosa o è sbagliato qualcosa? Grazie mille PS. ho scritto W(ortogonale) perchè non so come si mette il simbolo sopra per definirlo.

[mafantuz]

devi anche dimostrare che la restrizione dell'endomorfismo al complemento ortogonale è ancora un endomorfismo.

allora puoi usare l'induzione.