Dubbio sulla dimostrazione del teorema di Grassman

[Gio23121]

Buongiorno, non riuscendo a comprendere a pieno la dimostrazione del Teorema di Grassman ho dato un'occhiata su internet e ho trovato questa discussione: dimostrazione-formula-di-grassmann-t79291.html
Non riesco a capire però la risposta dell'utente, dire che
$ u+w=(\alpha_1u_1+...+\alpha_su_s +(\beta_1+\gamma_1)b_1+...(\beta_r+\gamma_r)b_r+\delta_1w_1+...+\delta_tw_t) $
basta a dire che $ {b_1,...,b_b,u_1,...,u_s,w_1,...,w_t} $ è una base per S+T ? o fino a quel punto è solo un insieme di generatori? se si, come faccio a dire che è una base?

[isaac888]

Direi che quello è un sistema di generatori. Su questo non ci piove. Il fatto che sia anche una base è dato dal fatto che quell'insieme è anche massimale, in quanto il numero di generatori linearmente indipendenti non può superare la dimensione dello spazio.
Se per assurdo ci fosse un ulteriore generatore indipendente dagli altri, questo dovrebbe essere un generatore dell'intersezione o di uno degli altri due sottospazi. Ma tu hai proprio le basi di tutti e tre questi sottospazi, perciò dal momento che tu hai tirato in ballo (nella dimostrazione) le loro basi (che sono un insieme massimale di generatori) arriveresti a una contraddizione.

[Gio23121]

Vedendo sulle dispense online allungano un po il discorso facendo totalmente una dimostrazione introducendo degli scalari e moltiplicandoli per i vettori della base uguagliando tutto al vettore nullo per provare l'indipendenza lineare. Grazie comunque della risposta