Dubbio sulla copertura lineare (Linear Span)

[Savoo2000]

Buon giorno a tutti,
vorrei proporvi un dubbio (probabilmente banale) a cui però non riesco a dare una spiegazione.
In classe abbiamo trattato la copertura lineare di un sistema o di un sottoinsieme di uno spazio vettoriale e abbiamo verificato che è un sottospazio.

Dato S un sistema o sottoinsieme di uno spazio vettoriale V la copertura lineare è, per definizione, l'insieme di tutte le combinazioni lineari di S.
Volevo però chiedervi, come mai questa definizione è equivalente a dire che la copertura lineare è il più piccolo sottospazio di V contenente S?

Non riuscendo a dimostrare questa affermazione, ho provato a farmi un'idea di ciò che volesse significare e penso che, dato che ogni sottosistema di V contiene alcuni vettori di V e le loro combinazioni lineari (essendo stabili rispetto alla somma e al prodotto) e quindi L(S) è il più piccolo che contiene tutti i vettori di S e le sue combinazioni lineari.

Spero tanto che voi possiate darmi una mano nel risolvere questo problema, a presto!

[Indrjo Dedej]

Tu come formalizzeresti questo concetto anzitutto?

"Saverio00":la copertura lineare è il più piccolo sottospazio di V contenente S?

In Matematica capire cosa sta scritto è quasi tutta la soluzione.

Ah, tra l'altro vedo che è il tuo primo messaggio: benvenuto!

[Savoo2000]

"Indrjo Dedej":Tu come formalizzeresti questo concetto anzitutto? [quote="Saverio00"]la copertura lineare è il più piccolo sottospazio di V contenente S?

In Matematica capire cosa sta scritto è quasi tutta la soluzione.

Ah, tra l'altro vedo che è il tuo primo messaggio: benvenuto! [/quote]


Mi viene da pensare che è l'intersezione dei sottospazi di V che contengono S. Non so però come proseguire e non so nemmeno motivare la frase a cui tu hai risposto, è il problema principale

P.s. Grazie del benvenuto!

[Indrjo Dedej]

Ancora più semplicementre potresti pensare così: la copertura lineare è contenuto in ogni sottospazio di \(V\) contenente \(S\). Ora una buona definizione formale sarebbe questa:

una copertura lineare di un sottoinsieme \(S\) di uno spazio vettoriale \(V\) è un sottospazio \(C\) contenente \(S\) e con questa proprietà: per ogni sottospazio \(C'\) di \(V\) contenente \(S\) si ha \(C \subseteq C'\).

Ora per dimostrare l'equivalenza dovresti dimostrare che ciascuna delle due definizioni implica l'altra.

(Alla fin della fiera, sì, il più piccolo sottospazio contenente \(S\) è l'interesezione di tutti i sottospazi contenenti \(S\).)

[Savoo2000]

"Indrjo Dedej":Ancora più semplicementre potresti pensare così: la copertura lineare è contenuta in ogni sottospazio di \(V\) contenente \(S\).

Purtroppo non riesco proprio a farmene una ragione
Provo a fare un esempio.
Sia lo spazio vettoriale $ V=R^2 $ su $ K=R $ lo spazio vettoriale e sia $ L(S) $ la copertura lineare della base standard, ovvero $V$ stesso. Sia dunque $ W<=V$ e $S sube V $ . Il sottospazio $ W $ di $ V $ , contenendo anch'esso $ S $ , non dovrà dunque essere contenuto e non contenere $ L(S) $ ?

[gugo82]

Qual è l’unico sottospazio che contiene tutti i vettori della base canonica?

[Savoo2000]

"gugo82":Qual è l’unico sottospazio che contiene tutti i vettori della base canonica?

Intendi la base canonica dello spazio vettoriale? In tal caso, lo spazio vettoriale stesso.

"Sergio":[quote="Saverio00"]Sia dunque $ W<=V $ e $ S sube V $

Può voler dire solo (in questo contesto) che i vettori di \( W \) non generano tutto \( V \). Quindi \( W\le V \) vuol dire: i vettori di \( W \) generano tutto \( V \), oppure solo un suo sottospazio proprio.
[/quote]

Okay si, ora mi è finalmente chiaro. Grazie del consiglio!