Dubbio sulla controimmagine
Salve a tutti,
ho un dubbio sulla applicazione della definizione di controimmagine. Mi spiego:
sia $f:A\toB$. Naturalmente, non è detto che $Imf=B$.
Sia ora $W\subsetB$ e supponiamo di voler calcolare $f^{-1}(W)$.
Per definizione $f^{-1}(W)={x\in A| f(x) \in W}$.
Quindi $x \in f^{-1}(W) \Leftrightarrow f(x) \in W $
- - - - -
Allora non ho bisogno di controllare che $W \subset Imf$, giusto?
----------------------------------------------------------------------
Voglio risolvere il seguente esercizio:
Sia $ f:RR^4 \to RR^4 $ tale che $ f(x,y,x,t):=(t,0,t+z-x,t) $. Posto $ W:= L( (1,0,0,1) , (1,1,1,0) ) $
calcolare $f^{-1}(W)$.
Svolgimento: applicando quanto detto sopra risulta
$u \in f^{-1}(W) \Leftrightarrow f(u) \in W \Leftrightarrow EE a,b \in RR tc $
$(t,0,t+z-x,t)=(a+b,b,b,a) \Leftrightarrow a=t ^^ b =0 ^^ x=t+z $ e quindi
$f^{-1}(W) = {(t+z,y,z,t)}$
è giusto secondo voi?
Ringrazio tutti anticipatamente.
ho un dubbio sulla applicazione della definizione di controimmagine. Mi spiego:
sia $f:A\toB$. Naturalmente, non è detto che $Imf=B$.
Sia ora $W\subsetB$ e supponiamo di voler calcolare $f^{-1}(W)$.
Per definizione $f^{-1}(W)={x\in A| f(x) \in W}$.
Quindi $x \in f^{-1}(W) \Leftrightarrow f(x) \in W $
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Allora non ho bisogno di controllare che $W \subset Imf$, giusto?
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Voglio risolvere il seguente esercizio:
Sia $ f:RR^4 \to RR^4 $ tale che $ f(x,y,x,t):=(t,0,t+z-x,t) $. Posto $ W:= L( (1,0,0,1) , (1,1,1,0) ) $
calcolare $f^{-1}(W)$.
Svolgimento: applicando quanto detto sopra risulta
$u \in f^{-1}(W) \Leftrightarrow f(u) \in W \Leftrightarrow EE a,b \in RR tc $
$(t,0,t+z-x,t)=(a+b,b,b,a) \Leftrightarrow a=t ^^ b =0 ^^ x=t+z $ e quindi
$f^{-1}(W) = {(t+z,y,z,t)}$
è giusto secondo voi?
Ringrazio tutti anticipatamente.
Risposte
Per come è definita la tua $f$ è possibile, secondo te, che un vettore dell'immagine possa essere $(1,1,1,0)$?
"mistake89":
Per come è definita la tua $f$ è possibile, secondo te, che un vettore dell'immagine possa essere $(1,1,1,0)$?
Hai ragione, non può essere.
In effetti, è proprio questo il dubbio: cioè, devo sempre controllare prima che $W \subset Imf$ ?
In teoria sì. Dovresti farlo preliminarmente, per esempio determinando una base dell'Immagine e provando a scrivere i vettori generatori di $W$ come loro combinazione lineare in questo caso.
Ma in generale, basta guardare per bene il problema prima di buttarsi a capofitto a svolgere i calcoli.
Ma in generale, basta guardare per bene il problema prima di buttarsi a capofitto a svolgere i calcoli.
"mistake89":
In teoria sì. Dovresti farlo preliminarmente.
Ecco, questo fatto ancora non mi torna.
Cioè, supponiamo che $f:A \to B$, $W \subset B$, $ Imf != B$.
L'insieme ${x\in A| f(x) \in W}$ ha senso di essere considerato, non appena $ W nn Imf != $vuoto.
Quindi, secondo me, il fatto che debba essere $W \subset Im f$, non è una condizione, per così dire, dettata dalla
"logica pura".
Insomma, potrei avere un $W$ che non è fatto tutto di $f(x)$ ma in cui tuttavia ve ne è qualcuna.
(Spero di essere riuscito a spiegarmi... ho qualche difficoltà in questo...
)Quindi mi vengono in mente 2 sole possibilità:
1) Sto sbagliando ad interpretare la scrittura " $x \in f^{-1}(W) \Leftrightarrow f(x) \in W $ ".
2) L'idea che ho è giusta, però si suppone per ipotesi che debba essere $W \subset Im f$.
Spero di aver capito per bene cosa intendi.
Il fatto è che il codominio non lo puoi "controllare" a priori. Una volta che hai la tua funzione e conseguentemente l'Immagine, puoi allargare "a piacere" il codominio in modo tale che oltre all'$Imf$ contenga anche molti altri elementi. Quindi preso un arbitrario sottoinsieme del codominio non è detto che esso abbia controimmagine (anche se magari qualche elemento di questo lo possiede!).
Nel tuo esempio questo processo si capisce bene. Hanno considerato il vettore $(1,0,0,1)$. Questo appartiene sicuramente all'$Imf$ in quanto $f(1,0,0,1)=(1,0,0,1)$ ad esempio. Hanno poi allargato l'insieme $W$ ad un vettore $(1,1,1,0)$ che controimmagine non possiede. Ovvio quindi che $W$ non possiede, nella sua interezza, controimmagine.
Se lo immagini con gli insiemi, anche graficamente è semplice da capire questa cosa.
Spero di essere stato chiaro, altrimenti chiedi pure.
Il fatto è che il codominio non lo puoi "controllare" a priori. Una volta che hai la tua funzione e conseguentemente l'Immagine, puoi allargare "a piacere" il codominio in modo tale che oltre all'$Imf$ contenga anche molti altri elementi. Quindi preso un arbitrario sottoinsieme del codominio non è detto che esso abbia controimmagine (anche se magari qualche elemento di questo lo possiede!).
Nel tuo esempio questo processo si capisce bene. Hanno considerato il vettore $(1,0,0,1)$. Questo appartiene sicuramente all'$Imf$ in quanto $f(1,0,0,1)=(1,0,0,1)$ ad esempio. Hanno poi allargato l'insieme $W$ ad un vettore $(1,1,1,0)$ che controimmagine non possiede. Ovvio quindi che $W$ non possiede, nella sua interezza, controimmagine.
Se lo immagini con gli insiemi, anche graficamente è semplice da capire questa cosa.
Spero di essere stato chiaro, altrimenti chiedi pure.
"mistake89":
quindi che $W$ non possiede, nella sua interezza, controimmagine.
Quindi è proprio per definizione, che la controimmagine di un $W $ viene considerata partendo dal
presupposto che $W \subset Imf$ ?
No, non è necessario che sia nella definizione, però in tal caso può accadere che la controimmagine (che è un sottoinsieme del dominio) possa essere vuota!
Ti ringrazio molto per la tua disponibilità!
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