Dubbio sui gruppi topologici
dato un gruppo topologico X con una topologia di Hausdorff, e sia H
secondo me si, in quanto la proiezione p nel quoziente ($p:G->G/H$) induce una topologia quoziente. quindi se $x,y\in\X$ esistono due intorni tali che e $U_xnnU_y=O/$.
consideriamo ora $W_(p(x))$ e $W_(p(y))$, per definizione essi sono aperti se lo è la loro controimmagine, quindi abbiamo che $p^(-1)W_(p(x))nnW_(p(y))=p^(-1)W_(p(x))nnp^(-1)W_(p(y))$ ed essendo di Hausdorff lo spazio X, questo è vuoto per un intorno fissato, quindi anche il quoziente ha una topologia di Hausdorff.
Ora la domanda che non so rispondere:
se G è un gruppo topologico e H
un metodo generale non mi viene in mente...
allora io so che $G/H$ lo posso vedere come spazio delle orbite di G (cioè $G.x={gx|g\in\G}$), devo trovare un gruppo topologico X tale che $AAg_1,g_2\in\G/H\;EEx\in\X:g_1=g_2x$.
Quindi oltre a G/H stesso e G non mi viene in mente nulla da proporre in generale...
suggerimenti?
grazie
secondo me si, in quanto la proiezione p nel quoziente ($p:G->G/H$) induce una topologia quoziente. quindi se $x,y\in\X$ esistono due intorni tali che e $U_xnnU_y=O/$.
consideriamo ora $W_(p(x))$ e $W_(p(y))$, per definizione essi sono aperti se lo è la loro controimmagine, quindi abbiamo che $p^(-1)W_(p(x))nnW_(p(y))=p^(-1)W_(p(x))nnp^(-1)W_(p(y))$ ed essendo di Hausdorff lo spazio X, questo è vuoto per un intorno fissato, quindi anche il quoziente ha una topologia di Hausdorff.
Ora la domanda che non so rispondere:
se G è un gruppo topologico e H
un metodo generale non mi viene in mente...
allora io so che $G/H$ lo posso vedere come spazio delle orbite di G (cioè $G.x={gx|g\in\G}$), devo trovare un gruppo topologico X tale che $AAg_1,g_2\in\G/H\;EEx\in\X:g_1=g_2x$.
Quindi oltre a G/H stesso e G non mi viene in mente nulla da proporre in generale...
suggerimenti?
grazie
Risposte
se questi due di prima, la soluzione che mi son dato secondo me è corretta, di questo mi serve una luce celestiale, perchè è ovvio, forse, ma non riesco a capire il perchè 
"se G è un gruppo topologico, e H un suo sottogruppo allora la chiusura di H è ancora un sottogruppo di G"
cioè l'idea che mi è venuta è vedere la chiusura di H come un normalizzatore di H, però ho i miei dubbi su questo approccio, qualcuno ha un'idea? grazie a tutti
"se G è un gruppo topologico, e H un suo sottogruppo allora la chiusura di H è ancora un sottogruppo di G"
cioè l'idea che mi è venuta è vedere la chiusura di H come un normalizzatore di H, però ho i miei dubbi su questo approccio, qualcuno ha un'idea? grazie a tutti
Scusa fu^2, ma per stabilire che $barH$ è sottogruppo non basta utilizzare la continuità di +?
mmm scusa ma se + è continuo, in che modo mi assicura che la chiusura di H è chiusa algebricamente? cmq immagino che intendi + per intendere la generica operazione definita su G 
Ora mi è venuta in mente una strada: se considero tutti i sottogruppi chiusi di G che contengono H, la loro intersezione è ancora un sottogruppo di H e questa coincide con la chiusura di H... bello
Ora mi è venuta in mente una strada: se considero tutti i sottogruppi chiusi di G che contengono H, la loro intersezione è ancora un sottogruppo di H e questa coincide con la chiusura di H... bello
Stiamo facendo le stesse identiche cose...
Te sapresti dirmi come mai $G$ è Hausdorff $<=>$ ${e}$ è chiuso (e quindi tutti i punti $g in G$ lo sono)?
Mi sto scervellando sin da ieri sera...
Te sapresti dirmi come mai $G$ è Hausdorff $<=>$ ${e}$ è chiuso (e quindi tutti i punti $g in G$ lo sono)?
Mi sto scervellando sin da ieri sera...
con e immagino che intendi l'elemento neutro rispetto all'operazione su G...
Uno spazio si dice di hausdorff se e solo se $AAx,y\in\G,EEU_x,U_y:U_xnnU_y=O/$.
consideriamo ${e}$ con un suo intorno, $U_e$ tale per cui $U_ennG!=O/$.
Prendiamo un punto $z\in\U_e$ allora essendo di Hausdorff $EEbarU_e$ e un $barU_z$ tali per cui la loro intersezione è vuota. Quindi z è esterno ad e (queste due righe si possono vedere come "preso un punto del complementare, esso è interno al complementare). Ma questo si può dire per ogni intorno di {e}, quindi tutti i punti diversi da {e} sono esterni ad {e} (cioè sono interni nel complementare), quindi $G$ \ ${e}$ è aperto, quindi ${e}$ è chiuso.
per il viceversa penso che puoi ricostruire al contrario quello appena detto....
come linea di massima per costruire qualcosa di bellino penso che questa strada possa andare bene
cosa ne dici?
Uno spazio si dice di hausdorff se e solo se $AAx,y\in\G,EEU_x,U_y:U_xnnU_y=O/$.
consideriamo ${e}$ con un suo intorno, $U_e$ tale per cui $U_ennG!=O/$.
Prendiamo un punto $z\in\U_e$ allora essendo di Hausdorff $EEbarU_e$ e un $barU_z$ tali per cui la loro intersezione è vuota. Quindi z è esterno ad e (queste due righe si possono vedere come "preso un punto del complementare, esso è interno al complementare). Ma questo si può dire per ogni intorno di {e}, quindi tutti i punti diversi da {e} sono esterni ad {e} (cioè sono interni nel complementare), quindi $G$ \ ${e}$ è aperto, quindi ${e}$ è chiuso.
per il viceversa penso che puoi ricostruire al contrario quello appena detto....
come linea di massima per costruire qualcosa di bellino penso che questa strada possa andare bene
cosa ne dici?
In uno spazio di Hausdorff X i punti sono sempre chiusi. Infatti, fissato $x \in X$, avviene che, per ogni $y \in X$ \ $\{x\}$, esiste un aperto $U_y \subseteq X$ tale che $y \in U_y$ e $\not(x \in U_y)$. Perciò $X$ \ $\{x\}$ è aperto, i.e. $\{x\}$ è chiuso.
L'implicazione inversa, naturalmente, non può transitare per gli stessi argomenti. Piuttosto, deve fare impiego dell'ipotesi per cui $G$ non è semplicemente uno spazio $T_2$, bensì anche un gruppo (topologico).
S
P.S.: qualcuno mi suggerisca qual è il tag MathML per il simbolo di non appartenenza insiemistica, grazie.
L'implicazione inversa, naturalmente, non può transitare per gli stessi argomenti. Piuttosto, deve fare impiego dell'ipotesi per cui $G$ non è semplicemente uno spazio $T_2$, bensì anche un gruppo (topologico).
S
P.S.: qualcuno mi suggerisca qual è il tag MathML per il simbolo di non appartenenza insiemistica, grazie.
"Gabriel":
P.S.: qualcuno mi suggerisca qual è il tag MathML per il simbolo di non appartenenza insiemistica, grazie.
Eccolo qui: $\notin$.
Davvero extra-ordinario. Molte grazie.
"fu^2":
mmm scusa ma se + è continuo, in che modo mi assicura che la chiusura di H è chiusa algebricamente? cmq immagino che intendi + per intendere la generica operazione definita su G
Ora mi è venuta in mente una strada: se considero tutti i sottogruppi chiusi di G che contengono H, la loro intersezione è ancora un sottogruppo di H e questa coincide con la chiusura di H... bello
Io pensavo ad un procedimeto di limite... ad esempio potresti mostrare che se $x,y in barH$ allora $x-y in barH$ (qui sto usando la notazione additiva per il gruppo!) scegliendo due successioni $(x_n),(y_n) subseteq H$ tali che $x_n to x, y_n to y$ e mostrando che $x_n-y_n to x-y$: in tal caso $x-y$ sarebbe di aderenza per $H$ e pertanto starebbe in $barH$.
Ovviamente per fare un procedimento del genere ti serve sapere almeno due cose: 1) che l'applicazione $f(x,y)=x-y$ è continua nelle due variabili e 2) che esiste almeno una successione (eventualmente costante) che converge verso ogni punto di aderenza per $H$.
Che dite, può funzionare?
fu^2, Gabriel:
Grazie!
Ho pensato per il procedimento inverso. Abbiamo visto in classe che deve valere per uno spazio T2 che la diagonale è chiusa, ovvero:
$D := {(g,g) | g in G}$ è chiusa $<=> G$ è Hausdorff.
E quindi, sapendo che l'inversione $i: G to G$ e l'operazione del gruppo $m: G \times G to G$ sono funzioni continue, scelgo la composizione:
$m((id,i)): G \times G to G$, $(a,b) mapsto a*b^{-1}$.
Per cui:
$m((id,i))^{-1}({e}) = (id,i)^{-1}({(g,g^{-1}) | g in G}) = {(g,g) | g in G}$
E quindi visto che la funzione è continua e che ${e}$ è chiuso, segue che lo è pure $D$.
Andrebbe bene?
Gugo82:
secondo me il problema è nel dimostrare che le successioni ti convergono in $barH$. Lo puoi dire per un insieme compatto (per successioni), ma non credo che lo potresti dire in generale.
EDIT: Come se non bastasse, rompo ancora un po' i coglioni
Secondo voi se $f: G to G'$ è un isomorfismo di gruppi continuo allora segue che è anche un omeomorfismo?
Io risponderei intuitivamente NO!
Come controesempio prenderei
$f: [0,1) to S^1$
Chiaramente $([0,1), +) (mod [0,1))$è un gruppo, e anche $(S^1,*)$ lo è.
Adesso prendiamo la topologia per $[0,1)$ generata da tutti gli insiemi della forma $[a,b), 0 le a < b le 1$, mentre per $S^1$ scegliamo la topologia standard.
Si nota chiaramente che f è continua, biettiva e che è un omomorfismo.
Ma $f^{-1}$ non è continua in quanto $[0,e)$ è aperto, ma
$(f^{-1})^{-1} ([0,e)) = {e^{it2pi} | t \in [0,e)}$ non lo è.
Per cui non è un omeomorfismo.
Potrebbe andare bene?
Ci sono esempi più semplici?
Grazie!
Ho pensato per il procedimento inverso. Abbiamo visto in classe che deve valere per uno spazio T2 che la diagonale è chiusa, ovvero:
$D := {(g,g) | g in G}$ è chiusa $<=> G$ è Hausdorff.
E quindi, sapendo che l'inversione $i: G to G$ e l'operazione del gruppo $m: G \times G to G$ sono funzioni continue, scelgo la composizione:
$m((id,i)): G \times G to G$, $(a,b) mapsto a*b^{-1}$.
Per cui:
$m((id,i))^{-1}({e}) = (id,i)^{-1}({(g,g^{-1}) | g in G}) = {(g,g) | g in G}$
E quindi visto che la funzione è continua e che ${e}$ è chiuso, segue che lo è pure $D$.
Andrebbe bene?
Gugo82:
secondo me il problema è nel dimostrare che le successioni ti convergono in $barH$. Lo puoi dire per un insieme compatto (per successioni), ma non credo che lo potresti dire in generale.
EDIT: Come se non bastasse, rompo ancora un po' i coglioni
Secondo voi se $f: G to G'$ è un isomorfismo di gruppi continuo allora segue che è anche un omeomorfismo?
Io risponderei intuitivamente NO!
Come controesempio prenderei
$f: [0,1) to S^1$
Chiaramente $([0,1), +) (mod [0,1))$è un gruppo, e anche $(S^1,*)$ lo è.
Adesso prendiamo la topologia per $[0,1)$ generata da tutti gli insiemi della forma $[a,b), 0 le a < b le 1$, mentre per $S^1$ scegliamo la topologia standard.
Si nota chiaramente che f è continua, biettiva e che è un omomorfismo.
Ma $f^{-1}$ non è continua in quanto $[0,e)$ è aperto, ma
$(f^{-1})^{-1} ([0,e)) = {e^{it2pi} | t \in [0,e)}$ non lo è.
Per cui non è un omeomorfismo.
Potrebbe andare bene?
Ci sono esempi più semplici?
si, o anche se fossero omeomorfi, vorrebbe dire che $[0,1)$ è compatto...
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