Dubbio sui cluster points
Salve a tutti.
Come saprete, dato uno spazio topologico $X$, un punto $c\in X$ si dice essere un cluster point della successione di punti di $X$ $\{x_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ se, per ogni intorno $V$ di $c$ in $X$, l'insieme degli indici $n\in \mathbb{N}$ tali che $x_n \in V$ è infinito.
L'esercizio che mi lascia perplesso richiede di dimostrare che in uno spazio topologico qualsiasi la condizione che $c$ sia di accumulazione per l'immagine della successione $x$ è sufficiente perché $c$ sia cluster point di tale successione.
Avevo pensato di usare il fatto che ogni intorno di un punto di accumulazione contiene infiniti punti dell'insieme di cui è punto di accumulazione, ma poi mi sono reso conto che tale proprietà non vale in tutti gli spazi topologici.
Quindi la domanda è: c'è un modo diverso, che non vedo, di fare l'esercizio o le ipotesi dell'esercizio sono errate perché troppo deboli?
Grazie in anticipo!
Come saprete, dato uno spazio topologico $X$, un punto $c\in X$ si dice essere un cluster point della successione di punti di $X$ $\{x_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ se, per ogni intorno $V$ di $c$ in $X$, l'insieme degli indici $n\in \mathbb{N}$ tali che $x_n \in V$ è infinito.
L'esercizio che mi lascia perplesso richiede di dimostrare che in uno spazio topologico qualsiasi la condizione che $c$ sia di accumulazione per l'immagine della successione $x$ è sufficiente perché $c$ sia cluster point di tale successione.
Avevo pensato di usare il fatto che ogni intorno di un punto di accumulazione contiene infiniti punti dell'insieme di cui è punto di accumulazione, ma poi mi sono reso conto che tale proprietà non vale in tutti gli spazi topologici.
Quindi la domanda è: c'è un modo diverso, che non vedo, di fare l'esercizio o le ipotesi dell'esercizio sono errate perché troppo deboli?
Grazie in anticipo!
Risposte
Quella proposizione e' falsa.
Prendi un insieme formato da tre punti $a,b,c$ con la topologia i cui aperti sono $\emptyset, \{a\},\{b,c\},\{a,b,c\}$. Considera la successione $b,a,a,a,a,a,a,a,a,\ldots$. Il punto $c$ e' di accumulazione, perche' ogni intorno di $c$ deve contenere $b$ e quindi interseca la successione. Ma $c$ non e' cluster.
Prendi un insieme formato da tre punti $a,b,c$ con la topologia i cui aperti sono $\emptyset, \{a\},\{b,c\},\{a,b,c\}$. Considera la successione $b,a,a,a,a,a,a,a,a,\ldots$. Il punto $c$ e' di accumulazione, perche' ogni intorno di $c$ deve contenere $b$ e quindi interseca la successione. Ma $c$ non e' cluster.
Intendi dire che $c$ non è un cluster point, immagino?
Ok, allora l'esercizio è sbagliato! Grazie mille!
Ok, allora l'esercizio è sbagliato! Grazie mille!
certo grazie! ho modificato. Ti torna?
Sì sì, mi torna, grazie mille!
Sono bellissimi questi controesempi con queste topologie stranissime... uno ignorante di topologia come me abituato a visualizzare i punti di accumulazione solo in ambito metrizzabile rimane stupefatto nel vedere questi fenomeni spettacolari così contrari all'intuizione!
Sono bellissimi questi controesempi con queste topologie stranissime... uno ignorante di topologia come me abituato a visualizzare i punti di accumulazione solo in ambito metrizzabile rimane stupefatto nel vedere questi fenomeni spettacolari così contrari all'intuizione!
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