Dubbio sugli autovettori
Ciao a tutti
ho questa matrice
[tex]A = \begin{matrix} -2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 4 & 4 & 2 \end{matrix}[/tex]
di cui devo trovare gli autovettori
Ho calcolato gli autovalori ho ottenuto
[tex]\lambda_{1} = 2[/tex]
[tex]\lambda_{2,3} = -2[/tex]
credo che siano corretti
per il calcolo degli autovettori relativi a [tex]\lambda_{1}[/tex] ho ottenuto [tex]v_{1} =k \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{matrix} \right)[/tex]
ma per quanto riguarda il secondo autovalore con molteplicità algebrica pari a 2, per prima cosa sembrerebbe che l'insieme degli autovettori sia identico a quello che ho ottenuto con [tex]\lambda_{1}[/tex], inoltre, dato che ho una molteplicità algebrica pari a 2, come posso ottenere 2 insiemi di autovettori linearmente indipendenti?
grazie e tutti
ho questa matrice
[tex]A = \begin{matrix} -2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 4 & 4 & 2 \end{matrix}[/tex]
di cui devo trovare gli autovettori
Ho calcolato gli autovalori ho ottenuto
[tex]\lambda_{1} = 2[/tex]
[tex]\lambda_{2,3} = -2[/tex]
credo che siano corretti
per il calcolo degli autovettori relativi a [tex]\lambda_{1}[/tex] ho ottenuto [tex]v_{1} =k \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{matrix} \right)[/tex]
ma per quanto riguarda il secondo autovalore con molteplicità algebrica pari a 2, per prima cosa sembrerebbe che l'insieme degli autovettori sia identico a quello che ho ottenuto con [tex]\lambda_{1}[/tex], inoltre, dato che ho una molteplicità algebrica pari a 2, come posso ottenere 2 insiemi di autovettori linearmente indipendenti?
grazie e tutti
Risposte
"pannaSmontata":
ma per quanto riguarda il secondo autovalore con molteplicità algebrica pari a 2, per prima cosa sembrerebbe che l'insieme degli autovettori sia identico a quello che ho ottenuto con [tex]\lambda_{1}[/tex], inoltre, dato che ho una molteplicità algebrica pari a 2, come posso ottenere 2 insiemi di autovettori linearmente indipendenti?
grazie e tutti
Dici che il sistema $y=0,\ x+y+z=0$ ha come soluzioni $(0,0,1)$? Non mi pare.
per [tex]\lambda = 2[/tex] risolvo il sistema
[tex]A \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}[/tex]
ovvero
[tex]\begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 0\\ 4 & 4 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}[/tex]
che a sistema mi da
[tex]-2x+y=2x[/tex]
[tex]-2y=2y[/tex]
[tex]4x+4y+2z=2z[/tex]
(non riesco a creare correttamente la graffa, anche usando il programmino in basso)
da cui determino
[tex]y=0[/tex]
quindi
[tex]-2x=2x \Rightarrow x=0[/tex]
per cui [tex]z=z[/tex]
prendendo $z$ come parametro ho
[tex]v_{1} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ k \end{pmatrix}=k \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/tex]
scegliendo $k=1$ ho [tex]v_{1} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/tex]
per $lambda = -2$ ho
[tex]\begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 0\\ 4 & 4 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = -2 \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}[/tex]
che a sistema mi da
[tex]-2x+y=-2x[/tex]
[tex]-2y=-2y[/tex]
[tex]4x+4y+2z=-2z[/tex]
quindi
[tex]y=0[/tex]
[tex]x=-z[/tex]
ok l'errore era qui!!!
ma non mi spiego comunque come trovare due insiemi di autovettori che siano linearmente indipendenti
sbaglio ancora qualcosa?
[tex]A \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}[/tex]
ovvero
[tex]\begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 0\\ 4 & 4 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}[/tex]
che a sistema mi da
[tex]-2x+y=2x[/tex]
[tex]-2y=2y[/tex]
[tex]4x+4y+2z=2z[/tex]
(non riesco a creare correttamente la graffa, anche usando il programmino in basso)
da cui determino
[tex]y=0[/tex]
quindi
[tex]-2x=2x \Rightarrow x=0[/tex]
per cui [tex]z=z[/tex]
prendendo $z$ come parametro ho
[tex]v_{1} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ k \end{pmatrix}=k \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/tex]
scegliendo $k=1$ ho [tex]v_{1} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/tex]
per $lambda = -2$ ho
[tex]\begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 0\\ 4 & 4 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = -2 \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}[/tex]
che a sistema mi da
[tex]-2x+y=-2x[/tex]
[tex]-2y=-2y[/tex]
[tex]4x+4y+2z=-2z[/tex]
quindi
[tex]y=0[/tex]
[tex]x=-z[/tex]
ok l'errore era qui!!!
ma non mi spiego comunque come trovare due insiemi di autovettori che siano linearmente indipendenti
sbaglio ancora qualcosa?
Le soluzioni del secondo sistema sono della forma $(x, 0, -x)$: pertanto lo spazio degli autovettori di $\lambda=-2$ è generato da $(1,0,-1)$. Non ho ben chiaro cosa vorresti fare tu, invece: cosa intendi con "due insiemi di autovettori linearmente indipendenti"?
magari sto facendo confusione io.
L'esercizio mi chiede di trovare gli autovettori della matrice $A$
dato che uno degli autovalori della matrice ha molteplicità algebrica pari a 2, mi aspetto che generi dei autospazi, è corretto?
uno è quello che tu stesso mi hai appena scritto, che coincide con quello che ho scritto io dopo aver corretto.
Ne esiste una altro?
L'esercizio mi chiede di trovare gli autovettori della matrice $A$
dato che uno degli autovalori della matrice ha molteplicità algebrica pari a 2, mi aspetto che generi dei autospazi, è corretto?
uno è quello che tu stesso mi hai appena scritto, che coincide con quello che ho scritto io dopo aver corretto.
Ne esiste una altro?
Ah, ora ho capito. Ebbene mia cara, ti devo dare una brutta notizia: ciò che affermi è falso. Se indichiamo con $m(\lambda)$ la molteplicità algebrica di un autovalore e con $g(\lambda)$ la sua molteplicità geometrica, definita come la dimensione dell'autospazio associato, in generale non è vero che $m(\lambda)=g(\lambda)$ (e il caso precedente di $\lambda=-2$ ne è un esempio lampante). Quando ciò succede, le matrici considerate sono "fatte bene", nel senso che sono diagonalizzabili (cosa che non so se hai già affrontato, per cui non mi dilungo).
In questo caso, quindi, trovi che $m(2)=g(2)=1$ mentre $m(-2)=2>g(-2)=1$ (e in generale, è sempre velo che $m(\lambda)\ge g(\lambda)$.
In questo caso, quindi, trovi che $m(2)=g(2)=1$ mentre $m(-2)=2>g(-2)=1$ (e in generale, è sempre velo che $m(\lambda)\ge g(\lambda)$.
credo sia più chiaro adesso
ci ragiono ancora un po' su per vedere se mi vengono altri dubbi
grazie
ci ragiono ancora un po' su per vedere se mi vengono altri dubbi
grazie
Aggiungo una cosa: ad ogni autovalore corrisponde un solo autospazio. Quello che cambia, per come ti dicevo prima, è la dimensione di tale autospazio.
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