Dubbio sugli autovettori
La matrice di partenza è $ M= ((3,k),(1,3))$. Devo calcolarne autovalori e autovettori e dire se è diagonalizzabile.
$|M-lambdaI|=|((3-lambda, k), (1, 3-lambda))| = (3-lambda)^2-k => lambda^2-6lambda + 9 -k$.
Pongo il polinomio caratteristico uguale a 0 e trovo gli autovalori: $lambda^2-6lambda + 9 - k=0 =>lamda_(1,2) = 3+-sqrt(k)$.
Ora, per $k<0$ non esistono autovalori reali, per $k=0$ la molteplicità algebrica e molteplicità geometrica dell'autovalore $lambda=3$ non coincidono e pertanto la matrice non è diagonalizzabile. Studio ora il caso $k>0$.
Sicuramente per $k>0$ la matrice è diagonalizzabile, però io voglio trovare anche gli autovettori associati ai rispettivi autovalori.
Se, ad esempio, cerco l'autovettore associato all'autovalore $lambda_2=3-sqrt(k)$, devo risolvere:
$((sqrt(k), k), (1, sqrt(k))) ((x),(y)) = ((0),(0))$, cioè $\{(sqrt(k)*x + k*y=0), (x+sqrt(k)*y=0 => x=-sqrt(k)*y) :}$.
Quindi, ad esempio, l'autovettore associato all'autovalore $lambda_2$ è $(-sqrt(k), 1)$.
Se però mi esplicito la $y$ in funzione di $x$ (cioè tratto $x$ come un parametro e risolvo rispetto ad $x$), ottengo $y=-sqrt(k)/k *x$. E quindi l'autovettore potrebbe essere ad esempio $(1, -sqrt(k)/k)$.
Cioè il mio dubbio consiste in questo: in base alla variabile che io decido di prendere come parametro (nel primo caso ho risolto trattando $y$ come un parametro, nel secondo ho trattato $x$ come un parametro), ottengo autovettori differenti, ma questa cosa mi sembra alquanto strana. Cosa sto sbagliando?
$|M-lambdaI|=|((3-lambda, k), (1, 3-lambda))| = (3-lambda)^2-k => lambda^2-6lambda + 9 -k$.
Pongo il polinomio caratteristico uguale a 0 e trovo gli autovalori: $lambda^2-6lambda + 9 - k=0 =>lamda_(1,2) = 3+-sqrt(k)$.
Ora, per $k<0$ non esistono autovalori reali, per $k=0$ la molteplicità algebrica e molteplicità geometrica dell'autovalore $lambda=3$ non coincidono e pertanto la matrice non è diagonalizzabile. Studio ora il caso $k>0$.
Sicuramente per $k>0$ la matrice è diagonalizzabile, però io voglio trovare anche gli autovettori associati ai rispettivi autovalori.
Se, ad esempio, cerco l'autovettore associato all'autovalore $lambda_2=3-sqrt(k)$, devo risolvere:
$((sqrt(k), k), (1, sqrt(k))) ((x),(y)) = ((0),(0))$, cioè $\{(sqrt(k)*x + k*y=0), (x+sqrt(k)*y=0 => x=-sqrt(k)*y) :}$.
Quindi, ad esempio, l'autovettore associato all'autovalore $lambda_2$ è $(-sqrt(k), 1)$.
Se però mi esplicito la $y$ in funzione di $x$ (cioè tratto $x$ come un parametro e risolvo rispetto ad $x$), ottengo $y=-sqrt(k)/k *x$. E quindi l'autovettore potrebbe essere ad esempio $(1, -sqrt(k)/k)$.
Cioè il mio dubbio consiste in questo: in base alla variabile che io decido di prendere come parametro (nel primo caso ho risolto trattando $y$ come un parametro, nel secondo ho trattato $x$ come un parametro), ottengo autovettori differenti, ma questa cosa mi sembra alquanto strana. Cosa sto sbagliando?
Risposte
Quei vettori sono proporzionali...
Ok, quindi posso passare dall'uno all'altro moltiplicando un vettore per un'opportuna costante. Allora non cambia nulla ed entrambi i modi di procedere sono corretti, giusto?
Sì, giusto.
E ricordati che la molteplicità geometrica di un autovalore (di una matrice quadrata) è la dimensione dell'autospazio vettoriale ad esso associato!, quindi, in questo esercizio, \(1\) significa che basta trovare un autovettore, ed a meno di un multiplo scalare li hai trovati tutti!
E ricordati che la molteplicità geometrica di un autovalore (di una matrice quadrata) è la dimensione dell'autospazio vettoriale ad esso associato!, quindi, in questo esercizio, \(1\) significa che basta trovare un autovettore, ed a meno di un multiplo scalare li hai trovati tutti!
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