Dubbio sugli autovettori
Se una matrice è diagonalizzabile, allora possiede una base di autovettori. Per esporre un mio dubbio riprendo la dimostrazione di questa affermazione.
Poiché A, per ipotesi, è diagonalizzabile, esistono una matrice D diagonale e una matrice P tali che $D=P^(−1)AP$, quindi $PD = AP$.
Sia $P=(p_(ij))$. Scrivendo esplicitamente i due prodotti PD e AP ottengo:
$Ap^((i))=d_ip^((i))$ per ogni i. Per definizione di autovettore, le colonne $p^((i))$ sono autovettori.
Inoltre si dimostra che tali autovettori formano una base.
Nella dimostrazione "leggo" che esiste una matrice P tale che $D=P^(−1)AP$ e che le colonne di $P^(-1)$ sono autovettori. Ora mi chiedo: posso anche affermare che qualsiasi base di autovettori io metta in P, si ha $D=P^(−1)AP$? Come lo spiego?
Poiché A, per ipotesi, è diagonalizzabile, esistono una matrice D diagonale e una matrice P tali che $D=P^(−1)AP$, quindi $PD = AP$.
Sia $P=(p_(ij))$. Scrivendo esplicitamente i due prodotti PD e AP ottengo:
$Ap^((i))=d_ip^((i))$ per ogni i. Per definizione di autovettore, le colonne $p^((i))$ sono autovettori.
Inoltre si dimostra che tali autovettori formano una base.
Nella dimostrazione "leggo" che esiste una matrice P tale che $D=P^(−1)AP$ e che le colonne di $P^(-1)$ sono autovettori. Ora mi chiedo: posso anche affermare che qualsiasi base di autovettori io metta in P, si ha $D=P^(−1)AP$? Come lo spiego?
Risposte
si...comunque prendi una base di autovettori, se li metti uno accanto all'altro a formare una matrice $P$, quella matrice $P$ diagonalizza $A$. Se scrivi tutto in coordinate e fai i conti, i conti tornano, ma proviamo a spiegarlo senza scrivere tutto.
Vogliamo far vedere che $P^{-1}A P$ e' diagonale. Equivalentemente, possiamo far vedere che i vettori della base canonica sono autovettori di $P^{-1}A P$. Prendi $e_j$, il $j$-esimo vettore della base canonica. $Pe_j$ e' $v_j$, la $j$-esima colonna di $P$, quindi il $j$-esimo autovettore di $A$. $Av_j$ e' $d_j v_j$, perche' $v_j$ e' autovettore. Porti fuori $d_j$ e ti resta da calcolare $P^{-1} v_j$. Ma se $P$ portava $e_j$ in $v_j$, allora $P^{-1}$ che e' l'inversa fara' il lavoro opposto, portando $v_j$ in $e_j$.
Ottieni quindi che $P^{-1} A P e_j = d_j e_j$. Percio' i vettori della base canonica sono tutti autovettori di $P^{-1} A P $ o, equivalentemente, $P^{-1} A P $ e' diagonale.
Vogliamo far vedere che $P^{-1}A P$ e' diagonale. Equivalentemente, possiamo far vedere che i vettori della base canonica sono autovettori di $P^{-1}A P$. Prendi $e_j$, il $j$-esimo vettore della base canonica. $Pe_j$ e' $v_j$, la $j$-esima colonna di $P$, quindi il $j$-esimo autovettore di $A$. $Av_j$ e' $d_j v_j$, perche' $v_j$ e' autovettore. Porti fuori $d_j$ e ti resta da calcolare $P^{-1} v_j$. Ma se $P$ portava $e_j$ in $v_j$, allora $P^{-1}$ che e' l'inversa fara' il lavoro opposto, portando $v_j$ in $e_j$.
Ottieni quindi che $P^{-1} A P e_j = d_j e_j$. Percio' i vettori della base canonica sono tutti autovettori di $P^{-1} A P $ o, equivalentemente, $P^{-1} A P $ e' diagonale.
Grazie Pappappero. Nell'ultima parte mi perdo un po'. Seguendo il tuo ragionamento, posso concluderlo anche così?
allego immagine perché con tutti questi apici ci vuole una pazienza...
Devo dimostrare che se P ha nelle colonne una qualsiasi base di A, allora $P^-1AP$ è diagonale.
Dimostrazione:
allego immagine perché con tutti questi apici ci vuole una pazienza...
Devo dimostrare che se P ha nelle colonne una qualsiasi base di A, allora $P^-1AP$ è diagonale.
Dimostrazione:
Sono d'accordo, anche se non mi piace fare le operazioni dentro le matrici. Preferisco pensare alle colonne di $A$ come prodotti $Ae_i$.
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