Dubbio su vecchio topic

[abbas90]

C'è una vecchia discussione che si trova a questo link: post497788.html
Quì si conclude dicendo che se si moltiplica una matrice mxn con una matrice nxm (con m>n) e se ne calcola il determinante viene che detAB=0. Ed effettivamente è vero. Si dimostra ciò dicendo che AB ha le righe che sono combinazioni lineari delle righe di B e perciò dagli assiomi sul determinante segue direttamente che det=0.
Ora io mi domando: se questo è vero e faccio il prodotto di due matrici quadrate dello stesso ordine con determinante dverso da zero, dovrei avere lo stesso risultato dato che le righe di AB sono comb.lineare di quelle di B come prima.Il problema è che Binet mi dice che invece in tal caso $ detAB!= 0 $
Potreste chiarirmi questo dubbio?

[Silente]

La relazione di Binet è ovvia per le matrici elementari.
Quindi:
\(\displaystyle det(EB) = det(E)det(B) \)

Se $A$ non è invertibile:
\(\displaystyle det(AB) = 0 \)
se per assurdo $AB$ fosse invertibile ci sarebbe una $C$ tale che:
\(\displaystyle ABC=I \)
ovvero
\(\displaystyle A(BC)=I \)
contro l'ipotesi.

Se $A$ è invertibile:
$A$ è prodotto di matrici elementari
\(\displaystyle A=E_1...E_k \)
\(\displaystyle det(A)=det(E_1)...det(E_k) \)
Quindi
\(\displaystyle det(AB)=det(E_1...E_kB)=det(E_1)...det(E_k)det(B)=det(A)det(B) \)