Dubbio su una proposizione
Buongiorno a tutti!
Dati due $K$-spazi vettoriali $V$ e $W$ e l'applicazione lineare $f:V->W$, non riesco a capire quando valgono le relazioni:
$text{ker}f=<0_V> hArr text{dim ker}f=0 hArr text{dim}V=text{dim}W$.
Secondo me manca una condizione su $f$: sembrerebbe che, data l'implicazione $text{ker}f=<0_V> hArr text{dim ker}f=0$ valga l'iniettività di $f$ e che, essendo $text{dim}V=text{dim}W$ valga la suriettività. A questo punto $f$ non sarebbe un isomorfismo?
Dal confronto con alcuni testi, mi sembra che la proposizione illustrata sopra sia quella che riguarda l'equivalenza di applicazione lineare iniettiva, suriettiva e isomorfismo sotto l'ipotesi che $text{dim}V=text{dim}W$.
Attendo da voi esperti delle conferme!
Andrea
Dati due $K$-spazi vettoriali $V$ e $W$ e l'applicazione lineare $f:V->W$, non riesco a capire quando valgono le relazioni:
$text{ker}f=<0_V> hArr text{dim ker}f=0 hArr text{dim}V=text{dim}W$.
Secondo me manca una condizione su $f$: sembrerebbe che, data l'implicazione $text{ker}f=<0_V> hArr text{dim ker}f=0$ valga l'iniettività di $f$ e che, essendo $text{dim}V=text{dim}W$ valga la suriettività. A questo punto $f$ non sarebbe un isomorfismo?
Dal confronto con alcuni testi, mi sembra che la proposizione illustrata sopra sia quella che riguarda l'equivalenza di applicazione lineare iniettiva, suriettiva e isomorfismo sotto l'ipotesi che $text{dim}V=text{dim}W$.
Attendo da voi esperti delle conferme!
Andrea
Risposte
Confermo che la proposizione di cui parli è falsa.
Prendi ad esempio $f:RR^2\to RR^3$ tale che $f(x,y)=(x,y,0)$. Essa è iniettiva (e infatti $"ker"f=<0>$), ma ovviamente $"dim"RR^2!="dim"RR^3$.
Prendi ad esempio $f:RR^2\to RR^3$ tale che $f(x,y)=(x,y,0)$. Essa è iniettiva (e infatti $"ker"f=<0>$), ma ovviamente $"dim"RR^2!="dim"RR^3$.
Ma allora può risultare vera se $f$ è un isomorfismo? O è totalmente sbagliata?
"Andrea90":
O è totalmente sbagliata?
Non ci sono proposizioni totalmente o parzialmente sbagliate: o sono vere o sono false.
La proposizione che hai scritto prima è falsa.
Puoi scrivere nel dettaglio quale proposizione vuoi che controlli? Con ipotesi e tesi?
Scusa se faccio queste domande, ma non vorrei capire male e darti informazioni sbagliate.
"cirasa":
Non ci sono proposizioni totalmente o parzialmente sbagliate: o sono vere o sono false.
Lo so, ma non avendo a disposizione le ipotesi credevo che si rivelasse vera se si faceva un'ipotesi su $f$!
Quella proposizione nasce da un'osservazione riguardo la relazione tra la ricerca dei vettori del nucleo di una applicazione lineare $f$ ed i sistemi lineari omogenei (le componenti di un vettore $vinV$ rispetto ad una base $A$ del $K$-spazio vettoriale $V$ soddisfano un sistema lineare omogeneo)...
Anche a me, comunque non convince... se $f$ è un isomorfismo funziona?
Forse ti riferisci a questa proposizione
Sia $f:V\to W$ un applicazione lineare di spazi vettoriali della stessa dimensione. Allora
$"ker"f=<0>\ \Leftrightarrow\ f$ è isomorfismo.
O forse a questa:
Sia $f:V\to W$ un isomorfismo fra spazi vettoriali. Allora $"ker"f=<0>$ e $"dim"V="dim"W$.
Naturalmente entrambe sono vere.
Sia $f:V\to W$ un applicazione lineare di spazi vettoriali della stessa dimensione. Allora
$"ker"f=<0>\ \Leftrightarrow\ f$ è isomorfismo.
O forse a questa:
Sia $f:V\to W$ un isomorfismo fra spazi vettoriali. Allora $"ker"f=<0>$ e $"dim"V="dim"W$.
Naturalmente entrambe sono vere.
Non sapendo quale abbia affrontato il tutor saresti disposto a dimostrarmi entrambe? Non le trovo nei miei libri di testo... Soprattutto vorrei capire come posso collegare la mia proposizione con tali proposizioni da te proposte...
Ti ringrazio...
Ti ringrazio...
Forse è meglio se scrivi tu il passaggio che non ti è chiaro di ciò che stai studiando e io ti dò una mano.
Per la seconda proposizione di cirasa puoi pensare che tutti gli spazi vettoriali dimensione finita $n$ sono isomorfi a $K^n$.
Per la prima invece se sai che $f$ è monomorfismo se e solo se $kerf={0}$ (cosa comunque non difficile da provare), unitamente al teorema della dimensione relativo ad un'applicazione lineare non è difficile provarla...
Può essere un buon esercizio a mio modestissimo giudizio
Per la prima invece se sai che $f$ è monomorfismo se e solo se $kerf={0}$ (cosa comunque non difficile da provare), unitamente al teorema della dimensione relativo ad un'applicazione lineare non è difficile provarla...
Può essere un buon esercizio a mio modestissimo giudizio
Ok... risolto il problema delle dimostrazioni... Ma resta un problema di fondo: la proposizione proposta da me, in ogni caso, è errata, giusto?
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