Dubbio su un esercizio sui sottospazi vettoriali
Ciao a tutti!Provavo a svolgere il seguente esercizio:
In $CC^(3x2)$ si consideri il seguente sottoinsieme:
$W:{((a_11,a_12),(a_21,a_22),(a_31,a_32))|a_11=a_32=0}$. Si dica se $W$ sia sottospazio di $CC$.
Ho provato a svolgerlo nel seguente modo ma ho molti dubbi a riguardo, spero che qualcuno mi possa aiutare:
devo verificare che il sottoinsieme contiene il vettore nullo e che la somma e il prodotto per scalare appartengano all'insieme dato (nel nostro caso $CC$).
1) esistenza dell'elemento nullo: se tutti gli elementi della matrice sono uguali a zero ottengo il vettore nullo.
2) La somma e il prodotto:$ ((0,a_12),(a_21,a_22),(a_31,0)) + ((a'_11,a'_12),(a'_21, a'_22),(a'_31,a'_32)) = ((0+a'_11, a_12+a'_12),(a_21+a'_21,a_22+a'_22),(a_31+a'_31,0+a'_32))$, gli elementi della matrice 3x2 risultante appartengono all'insieme dei complessi e lo stesso per il prodotto.
In conclusione $W$ è un sottospazio di $CC$. Il mio ragionamento è corretto?Grazie a tutti:)
In $CC^(3x2)$ si consideri il seguente sottoinsieme:
$W:{((a_11,a_12),(a_21,a_22),(a_31,a_32))|a_11=a_32=0}$. Si dica se $W$ sia sottospazio di $CC$.
Ho provato a svolgerlo nel seguente modo ma ho molti dubbi a riguardo, spero che qualcuno mi possa aiutare:
devo verificare che il sottoinsieme contiene il vettore nullo e che la somma e il prodotto per scalare appartengano all'insieme dato (nel nostro caso $CC$).
1) esistenza dell'elemento nullo: se tutti gli elementi della matrice sono uguali a zero ottengo il vettore nullo.
2) La somma e il prodotto:$ ((0,a_12),(a_21,a_22),(a_31,0)) + ((a'_11,a'_12),(a'_21, a'_22),(a'_31,a'_32)) = ((0+a'_11, a_12+a'_12),(a_21+a'_21,a_22+a'_22),(a_31+a'_31,0+a'_32))$, gli elementi della matrice 3x2 risultante appartengono all'insieme dei complessi e lo stesso per il prodotto.
In conclusione $W$ è un sottospazio di $CC$. Il mio ragionamento è corretto?Grazie a tutti:)
Risposte
Per il punto 1 direi che non c'è problema...però non capisco molto bene il procedimento che usi nel punto 2.
Insomma in pratica fai vedere che la somma di un elemento di \( W \) e di un elemento qualunque, appartiene allo spazio, il che dipende dal semplice fatto che è uno spazio vettoriale.
Per mostrare che quello è un sottospazio devi far vedere che come sottoinsieme esso è chiuso rispetto alle operazioni di somma e prodotto per scalare. Ovvero che se sommi due elementi di \( W \) o ne moltiplichi uno per uno scalare, ottieni come risultato un elemento di \( W \). Quindi il giusto procedimento è questo : \[ \begin{pmatrix} 0 & a \\ b & c \\ d & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & a_1 \\ b_1 & c_1 \\ d_1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & a+a_1 \\b+b_1 & c+c_1 \\ d+d_1 &0 \end{pmatrix} \] ovvero un elemento appartenente al sottospazio. Analogamente fai vedere che moltiplicando la matrice per uno scalare essa rimane un elemento del sottospazio (ovvero con prima e ultima componente nulle).
Spero di averti aiutato
.
Insomma in pratica fai vedere che la somma di un elemento di \( W \) e di un elemento qualunque, appartiene allo spazio, il che dipende dal semplice fatto che è uno spazio vettoriale.
Per mostrare che quello è un sottospazio devi far vedere che come sottoinsieme esso è chiuso rispetto alle operazioni di somma e prodotto per scalare. Ovvero che se sommi due elementi di \( W \) o ne moltiplichi uno per uno scalare, ottieni come risultato un elemento di \( W \). Quindi il giusto procedimento è questo : \[ \begin{pmatrix} 0 & a \\ b & c \\ d & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & a_1 \\ b_1 & c_1 \\ d_1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & a+a_1 \\b+b_1 & c+c_1 \\ d+d_1 &0 \end{pmatrix} \] ovvero un elemento appartenente al sottospazio. Analogamente fai vedere che moltiplicando la matrice per uno scalare essa rimane un elemento del sottospazio (ovvero con prima e ultima componente nulle).
Spero di averti aiutato
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@SIgma 1: mi chiedevo, siccome la condizione $a_11 = a_32=0$ riguarda la matrice originaria, per quale motivo anche la matrice che viene sommata alla prima matrice deve soddisfare la condizione per la quale il primo elemento della prima colonna e l'ultimo elemento della seconda colonna siano nulli?
La condizione che l'elemento $a_11$ e $a_32$ siano nulli è in ogni caso rispettata...oppure anche la matrice ottenuta in seguito alla somma deve avere il primo elemento della colonna 1 e l'ultimo elemento della colonna 2 nulli? Spero di essermi spiegato...
La condizione che l'elemento $a_11$ e $a_32$ siano nulli è in ogni caso rispettata...oppure anche la matrice ottenuta in seguito alla somma deve avere il primo elemento della colonna 1 e l'ultimo elemento della colonna 2 nulli? Spero di essermi spiegato...
Si grazie, mi sei stato tanto d'aiuto! Se non è un problema, potresti controllare i seguenti sottoinsiemi? L'esercizio dice così: In $CC^(3x2)$ si considerino i sottoinsiemi:
$Z= {((a,b),(c,d),(e,f))|a+c+e=b+d+f}$;
$U={((a,b),(c,d),(e,f))| a+e=1}$;
$T={((a,b),(c,d),(e,f))|a,c,e in RR}$;
$S={((a,b))|a=4b}$. Si dica quali siano sottospazi su $CC$.
-Per il sottoinsieme $Z$, esiste il vettore nullo se tutti gli elementi della matrice sono nulli. Mi imbatto nuovamente in un dubbio, riguardante la somma.
$((a,b),(c,d),(e,f)) + ((a',b'),(c',d'),(e',f')) =((a +a',b+b'),(c+c',d+d'),(e+e',f+f'))$
Per la seconda matrice devo sempre far valere la condizione $a'+c'+e'=b'+d'+f'$? Se è così, allora sono verificate le condizioni di somma e prodotto e quindi posso dire che $Z$ è sottospazio di $CC$.
-Per il sottoinsieme $U$, si nota subito che non è sottospazio in quanto $a+e=1$ e ciò non mi permette di considerare tutti gli elementi della matrice nulli.
-Per il sottoinsieme $T$, la condizione iniziale mi dice che $a,c,e in RR$ quindi dovrebbero essere soddisfatte tutte le condizioni. Esiste l'elemento nullo, la somma e il prodotto sono verificate in quanto $RR sub CC$ e, in conclusione,il sottoinsieme è sottospazio.
-Per quanto riguarda $S$ ho numerosi dubbi. La matrice proposta nell'insieme non è 3x2 ma è formata da due elementi quindi a primo acchito direi che non è un sottospazio, ma non sono sicura che questo mio ragionamento è corretto o no.
Spero in una risposta, grazie ancora!
$Z= {((a,b),(c,d),(e,f))|a+c+e=b+d+f}$;
$U={((a,b),(c,d),(e,f))| a+e=1}$;
$T={((a,b),(c,d),(e,f))|a,c,e in RR}$;
$S={((a,b))|a=4b}$. Si dica quali siano sottospazi su $CC$.
-Per il sottoinsieme $Z$, esiste il vettore nullo se tutti gli elementi della matrice sono nulli. Mi imbatto nuovamente in un dubbio, riguardante la somma.
$((a,b),(c,d),(e,f)) + ((a',b'),(c',d'),(e',f')) =((a +a',b+b'),(c+c',d+d'),(e+e',f+f'))$
Per la seconda matrice devo sempre far valere la condizione $a'+c'+e'=b'+d'+f'$? Se è così, allora sono verificate le condizioni di somma e prodotto e quindi posso dire che $Z$ è sottospazio di $CC$.
-Per il sottoinsieme $U$, si nota subito che non è sottospazio in quanto $a+e=1$ e ciò non mi permette di considerare tutti gli elementi della matrice nulli.
-Per il sottoinsieme $T$, la condizione iniziale mi dice che $a,c,e in RR$ quindi dovrebbero essere soddisfatte tutte le condizioni. Esiste l'elemento nullo, la somma e il prodotto sono verificate in quanto $RR sub CC$ e, in conclusione,il sottoinsieme è sottospazio.
-Per quanto riguarda $S$ ho numerosi dubbi. La matrice proposta nell'insieme non è 3x2 ma è formata da due elementi quindi a primo acchito direi che non è un sottospazio, ma non sono sicura che questo mio ragionamento è corretto o no.
Spero in una risposta, grazie ancora!
Allora per rispondere a Daniele, il punto dell'esercizio è esattamente questo: la proprietà di essere chiuso rispetto alle operazioni va controllata nel sottoinsieme stesso! Quindi devo sommare due matrici del sottoinsieme (attento, quella che tu hai chiamato matrice ''originaria'', non è una sola) che perciò devono avere entrambe la proprietà di avere prima e ultima componente nulle, e controllare se effettivamente ottengo ancora una matrice del sottoinsieme. Se il ''controllo'' riesce per entrambe le operazioni posso concludere che è un sottospazio. Quindi la matrice che ottengo sommando, a priori potrebbe non avere la proprietà che cerco, ma in questo caso specifico ce l'ha e quindi appartiene al sottospazio.
Dunque per quanto riguarda gli esercizi invece...per \( U \) hai perfettamente ragione e anche per \( Z \) , come nel''esercizio precedente devi prendere matrici del sottoinsieme, quindi verificanti quella determinata condizione.
Anche per \( T \) il ragionamento per la somma è giusto, e deriva direttamente dal fatto che i reali sono chiusi rispetto alla somma. Ma devi stare attenta al prodotto per scalare (ricorda che lavori su campo \( \mathbb{C} \) )!
Se tu prendi un qualunque scalare complesso e lo moltiplichi per le componenti reali della matrice...quelle diventano complesse! Quindi \( T \) non è chiuso rispetto al prodotto per scalare e non è un sottospazio.
Per l'ultimo esercizio il testo mi sembra un po' strano...forse intende semplicemente di considerare come \( a, b \) i primi due elementi della matrice e definisce la proprietà solo su questi due.
Dunque per quanto riguarda gli esercizi invece...per \( U \) hai perfettamente ragione e anche per \( Z \) , come nel''esercizio precedente devi prendere matrici del sottoinsieme, quindi verificanti quella determinata condizione.
Anche per \( T \) il ragionamento per la somma è giusto, e deriva direttamente dal fatto che i reali sono chiusi rispetto alla somma. Ma devi stare attenta al prodotto per scalare (ricorda che lavori su campo \( \mathbb{C} \) )!
Se tu prendi un qualunque scalare complesso e lo moltiplichi per le componenti reali della matrice...quelle diventano complesse! Quindi \( T \) non è chiuso rispetto al prodotto per scalare e non è un sottospazio.
Per l'ultimo esercizio il testo mi sembra un po' strano...forse intende semplicemente di considerare come \( a, b \) i primi due elementi della matrice e definisce la proprietà solo su questi due.
Giusto, non ci avevo proprio fatto caso al prodotto scalare del sottoinsieme $T$!Per quanto riguarda l'insieme $S$ sinceramente non saprei come considerare quella matrice..se fosse come dici tu,l'insieme $S$ non è sottospazio, in quanto non è verificata la proprietà del prodotto scalare, contrariamente per la somma e per l'esistenza del vettore nullo.Giusto? Grazie mille per la disponibilità
Se fosse così in realtà non ci sarebbero problemi col prodotto scalare attenzione, perché se \( a= 4b \) allora naturalmente \( \lambda a = 4 \lambda b \) e quindi rimarrebbe verificata la condizione di appartenenza. Oltretutto sommando per un'altra matrice con la stessa prorpietà avrei \( a + a' = 4b + 4b' =4 (b + b') \), e quindi il sottoinsieme sarebbe un sottospazio ^^.
Si per la somma avevo fatto lo stesso ragionamento. Con il prodotto invece non avevo fatto caso alla condizione di partenza ed ecco il perché del mio errore. Grazie mille. Tutto chiaro ora!:D
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