Dubbio su teorema spettrale e diagonalizzazione
Ciao,
avrei un esercizio che mi ha fatto porre delle domande sui temi di "diagonalizzazione" e "teorema spettrale".
L'esercizio è il seguente:
Date $A=((1,0,0),(1,-1,0),(2,3,2))$ e $B((1,0,0),(0,-1,0),(0,0,2))$ determinare se:
1- esiste P invertibile tale che $P^-1AP=B$, e se esiste trovarla
2- stiste K ortogonale tale che $K^-1AK=B$ e trovarla se esiste.
I miei dubbi sono i seguenti:
1- io so che A è diagonalizzabile se e solo se esiste la matrice P' tale che renda vera la relazione di similitudine con una matrice diagonale, questo in generale mi permette di trovare una D matrice diagonale e la P' sfruttando autovettori e autovalori. Tuttavia io ho una B diagonale fissata, svolgendo l'esercizio noto che determinando gli autovettori e mettendoli in colonna P assolve a questo compito, quindi qui nessun problema è semplice. Tuttavia mi ha fatto sorgere la seguente domanda: ma se io avessi un'altra matrice diagonale, mettiamo B' diversa da B e mi si chiedesse di trovare una P' tale che renda vera $P'^-1AP'=B'$ come faccio? Io infatti facendo i calcoli su autovalori e autovettori di A troverei la B e la P (di prima), tuttavia io voglio mostrare se esiste P' che mi porta a B', non posso quindi sfruttare autovettori e autovalori che mi darebbero B e P.
A questo punto P' che "collega" A a B' esisterebbe sempre o no? E se esiste come lo trovo? (non potendo sfruttare gli autovettori non mi vengono idee furbe)
Inoltre mi piacerebbe porre una domanda aggiuntiva: date due distinte matrici diagonali esse possono rappresentare sempre due endomorfismi associati a basi distinte? In un certo senso mi chiedo: date A e B diagonali posso sempre collegarle con due matrici cambiamento di base?
2- per rispondere alla 2 so che un endomorfismo f simmetrico è caratterizzato dalle seguenti condizioni:
f simmetrico <=> (**)per ogni base otonormale la matrice rappresentativa di f rispetto a tale base è simmetrica <=> (*) esiste (almeno) una base otonormale la matrice rappresentativa di f rispetto a tale base è simmetrica.
Indicando con $f_A$ l'endomorfismo indotto dalla matrice A so che
A simmetrica <=> f_A è autoaggiunto <=> esiste base ortonormale B t.c B sia costituita da autovettori per $f_A$ <=> esiste K t.c $K^-1AK=D$ con D diagonale.
Ora, io ho una matrice A che rispetto alla base ortonormale canonica non è simmetrica, tuttavia nessuno mi dice che non possa esistere almeno una base ortonormale in cui è simmetrica e come dice (*) ciò vorrebbe dire che se trovo quella base A è simmetrica e quindi potrebbe esistere il K che rende vera $K^-1AK=D$. Sbaglio? (se fosse corretta questa interpretazione il punto 2- ha soluzione)
Oppure questo non accade per via della (**) la quale dice che:
per ogni base otonormale la matrice rappresentativa di f rispetto a tale base è simmetrica <=> esiste (almeno) una base otonormale la matrice rappresentativa di f rispetto a tale base è simmetrica
Ma noi abbiamo trovato una base (la canonica) per cui non è simmetrica $f_A$ (A non è simmetrica infatti) e quindi non valendo il per ogni => non esisterà neanche una base ortonormale per cui sarà simmetrica la matrice rappresentativa di $f_A$. (se fosse corretta questa interpretazione il punto 2- non ha soluzione). A questo punto conlcudo che: A non simmetrica <=> non esiste K t.c $K^-1AK=D$ con D diagonale
Sono un po' confuso su questi fatti dei se e solo se indicati.
avrei un esercizio che mi ha fatto porre delle domande sui temi di "diagonalizzazione" e "teorema spettrale".
L'esercizio è il seguente:
Date $A=((1,0,0),(1,-1,0),(2,3,2))$ e $B((1,0,0),(0,-1,0),(0,0,2))$ determinare se:
1- esiste P invertibile tale che $P^-1AP=B$, e se esiste trovarla
2- stiste K ortogonale tale che $K^-1AK=B$ e trovarla se esiste.
I miei dubbi sono i seguenti:
1- io so che A è diagonalizzabile se e solo se esiste la matrice P' tale che renda vera la relazione di similitudine con una matrice diagonale, questo in generale mi permette di trovare una D matrice diagonale e la P' sfruttando autovettori e autovalori. Tuttavia io ho una B diagonale fissata, svolgendo l'esercizio noto che determinando gli autovettori e mettendoli in colonna P assolve a questo compito, quindi qui nessun problema è semplice. Tuttavia mi ha fatto sorgere la seguente domanda: ma se io avessi un'altra matrice diagonale, mettiamo B' diversa da B e mi si chiedesse di trovare una P' tale che renda vera $P'^-1AP'=B'$ come faccio? Io infatti facendo i calcoli su autovalori e autovettori di A troverei la B e la P (di prima), tuttavia io voglio mostrare se esiste P' che mi porta a B', non posso quindi sfruttare autovettori e autovalori che mi darebbero B e P.
A questo punto P' che "collega" A a B' esisterebbe sempre o no? E se esiste come lo trovo? (non potendo sfruttare gli autovettori non mi vengono idee furbe)
Inoltre mi piacerebbe porre una domanda aggiuntiva: date due distinte matrici diagonali esse possono rappresentare sempre due endomorfismi associati a basi distinte? In un certo senso mi chiedo: date A e B diagonali posso sempre collegarle con due matrici cambiamento di base?
2- per rispondere alla 2 so che un endomorfismo f simmetrico è caratterizzato dalle seguenti condizioni:
f simmetrico <=> (**)per ogni base otonormale la matrice rappresentativa di f rispetto a tale base è simmetrica <=> (*) esiste (almeno) una base otonormale la matrice rappresentativa di f rispetto a tale base è simmetrica.
Indicando con $f_A$ l'endomorfismo indotto dalla matrice A so che
A simmetrica <=> f_A è autoaggiunto <=> esiste base ortonormale B t.c B sia costituita da autovettori per $f_A$ <=> esiste K t.c $K^-1AK=D$ con D diagonale.
Ora, io ho una matrice A che rispetto alla base ortonormale canonica non è simmetrica, tuttavia nessuno mi dice che non possa esistere almeno una base ortonormale in cui è simmetrica e come dice (*) ciò vorrebbe dire che se trovo quella base A è simmetrica e quindi potrebbe esistere il K che rende vera $K^-1AK=D$. Sbaglio? (se fosse corretta questa interpretazione il punto 2- ha soluzione)
Oppure questo non accade per via della (**) la quale dice che:
per ogni base otonormale la matrice rappresentativa di f rispetto a tale base è simmetrica <=> esiste (almeno) una base otonormale la matrice rappresentativa di f rispetto a tale base è simmetrica
Ma noi abbiamo trovato una base (la canonica) per cui non è simmetrica $f_A$ (A non è simmetrica infatti) e quindi non valendo il per ogni => non esisterà neanche una base ortonormale per cui sarà simmetrica la matrice rappresentativa di $f_A$. (se fosse corretta questa interpretazione il punto 2- non ha soluzione). A questo punto conlcudo che: A non simmetrica <=> non esiste K t.c $K^-1AK=D$ con D diagonale
Sono un po' confuso su questi fatti dei se e solo se indicati.
Risposte
Il punto 1 ti sta solo chiedendo di diagonalizzare A. Penso che lo sai fare.
Per il punto 2 devi ragionare un po', ma non servono teoremi, basta ragionare sulle definizioni.
Per il punto 2 devi ragionare un po', ma non servono teoremi, basta ragionare sulle definizioni.
Uhm ok ma mi rimangono le domande, provo a riesprimerle.
1- come hai detto: sì, basta diagonalizzare nell'esercizio 1 e lo so fare e l'ho fatto però quello che chiedevo era qualcosa che l'esercizio ha stimolato. Ossia:
prendiamo lo stesso esercizio però con una B' diversa da quella indicata e sempre diagonale e mi chiedo se esiste $P'$ tale che $P'^-1AP'=B'$ come faccio a sapere se esiste questa P'?
Se io infatti diagonalizzassi A avrei di nuovo B e P (A è la stessa!), ma io voglio sapere se essendo diagonalizzabile si può ottenere in generale una seconda matrice diagonale B'.
A questo punto P' che "collega" A a B' diagonale qualsiasi esisterebbe sempre o no? E se (quando) esiste come lo trovo P'?
D'altra parte questo è un po' come chiedersi (la domanda aggiuntiva): date due distinte matrici diagonali esse possono rappresentare sempre uno stesso endomorfismo f associato a basi distinte? In un certo senso mi chiedo: date F e G diagonali posso sempre collegarle con due matrici cambiamento di base?
Per non aggiungere troppa carne al fuoco lascio il punto 2 per dopo.
1- come hai detto: sì, basta diagonalizzare nell'esercizio 1 e lo so fare e l'ho fatto però quello che chiedevo era qualcosa che l'esercizio ha stimolato. Ossia:
prendiamo lo stesso esercizio però con una B' diversa da quella indicata e sempre diagonale e mi chiedo se esiste $P'$ tale che $P'^-1AP'=B'$ come faccio a sapere se esiste questa P'?
Se io infatti diagonalizzassi A avrei di nuovo B e P (A è la stessa!), ma io voglio sapere se essendo diagonalizzabile si può ottenere in generale una seconda matrice diagonale B'.
A questo punto P' che "collega" A a B' diagonale qualsiasi esisterebbe sempre o no? E se (quando) esiste come lo trovo P'?
D'altra parte questo è un po' come chiedersi (la domanda aggiuntiva): date due distinte matrici diagonali esse possono rappresentare sempre uno stesso endomorfismo f associato a basi distinte? In un certo senso mi chiedo: date F e G diagonali posso sempre collegarle con due matrici cambiamento di base?
Per non aggiungere troppa carne al fuoco lascio il punto 2 per dopo.
Due matrici diagonali sono coniugate (cioè simili, cioè equivalenti a meno di cambiare base) se e solo se gli elementi diagonali sono gli stessi (con le stesse molteplicità) eventualmente in ordine diverso.
Questo è facile da dimostrare: se gli elementi diagonali sono gli stessi il cambio di base che porta dall'una all'altra è semplicemente una (opportuna) permutazione dei vettori della base. Se invece gli elementi diagonali sono diversi allora i due polinomi caratteristici sono diversi e quindi le due matrici non possono essere simili (due matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico).
Per esempio prendiamo
$A=((1,0,0),(0,2,0),(0,0,2))$,
$B=((2,0,0),(0,1,0),(0,0,2))$,
$C=((2,0,0),(0,1,0),(0,0,1))$.
Hai che $A$ è simile a $B$ ma non a $C$.
Questo è facile da dimostrare: se gli elementi diagonali sono gli stessi il cambio di base che porta dall'una all'altra è semplicemente una (opportuna) permutazione dei vettori della base. Se invece gli elementi diagonali sono diversi allora i due polinomi caratteristici sono diversi e quindi le due matrici non possono essere simili (due matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico).
Per esempio prendiamo
$A=((1,0,0),(0,2,0),(0,0,2))$,
$B=((2,0,0),(0,1,0),(0,0,2))$,
$C=((2,0,0),(0,1,0),(0,0,1))$.
Hai che $A$ è simile a $B$ ma non a $C$.
Ah giusto che scemo, ci ho ragionato ma non mi ero portato a pensare al polinomio caratteristico che cambierebbe in modo ovvio. Ok direi che allora il primo dubbio non sussiste, nel senso che la matrice diagonale che ottendo digonalizzando A è unica a meno di scambi e la mia supposta B' non dà problemi operativamente nel cercarla (basta che scambio autovettori e autovalori trovati (unici) e il gioco è fatto, se non coincidono con B data invece addio alla supposta similitudine con la matrice A iniziale).
Mentre per il punto 2 volevo capire meglio anche qui. La risposta che mi sono dato è che non esiste poiché:
per rispondere alla 2 so che un endomorfismo f simmetrico è caratterizzato dalle seguenti condizioni:
f simmetrico <=> (**)per ogni base otonormale la matrice rappresentativa di f rispetto a tale base è simmetrica <=> (*) esiste (almeno) una base otonormale la matrice rappresentativa di f rispetto a tale base è simmetrica.
Indicando con $f_A$ l'endomorfismo indotto dalla matrice A so che
A simmetrica <=> f_A è autoaggiunto <=> esiste base ortonormale B t.c B sia costituita da autovettori per $f_A$ <=> esiste K t.c $K^-1AK=D$ con D diagonale.
Ora, io ho una matrice A che rispetto alla base ortonormale canonica non è simmetrica, potrebbe idealmente esistere (almeno) una base otonormale in cui la matrice rappresentativa di f rispetto a tale base è simmetrica, ma questo non accade per via di (**) la quale dice che:
per ogni base otonormale la matrice rappresentativa di f rispetto a tale base è simmetrica <=> esiste (almeno) una base otonormale la matrice rappresentativa di f rispetto a tale base è simmetrica
Ma noi abbiamo trovato una base (la canonica) per cui non è simmetrica $f_A$ (A non è simmetrica infatti) e quindi non valendo il per ogni => non esisterà neanche una base ortonormale per cui sarà simmetrica la matrice rappresentativa di $f_A$. (messa così il punto 2- non ha soluzione). A questo punto conlcudo che: A non simmetrica <=> non esiste K t.c $K^-1AK=D$ con D diagonale
Io avrei risposto così.
Mentre per il punto 2 volevo capire meglio anche qui. La risposta che mi sono dato è che non esiste poiché:
per rispondere alla 2 so che un endomorfismo f simmetrico è caratterizzato dalle seguenti condizioni:
f simmetrico <=> (**)per ogni base otonormale la matrice rappresentativa di f rispetto a tale base è simmetrica <=> (*) esiste (almeno) una base otonormale la matrice rappresentativa di f rispetto a tale base è simmetrica.
Indicando con $f_A$ l'endomorfismo indotto dalla matrice A so che
A simmetrica <=> f_A è autoaggiunto <=> esiste base ortonormale B t.c B sia costituita da autovettori per $f_A$ <=> esiste K t.c $K^-1AK=D$ con D diagonale.
Ora, io ho una matrice A che rispetto alla base ortonormale canonica non è simmetrica, potrebbe idealmente esistere (almeno) una base otonormale in cui la matrice rappresentativa di f rispetto a tale base è simmetrica, ma questo non accade per via di (**) la quale dice che:
per ogni base otonormale la matrice rappresentativa di f rispetto a tale base è simmetrica <=> esiste (almeno) una base otonormale la matrice rappresentativa di f rispetto a tale base è simmetrica
Ma noi abbiamo trovato una base (la canonica) per cui non è simmetrica $f_A$ (A non è simmetrica infatti) e quindi non valendo il per ogni => non esisterà neanche una base ortonormale per cui sarà simmetrica la matrice rappresentativa di $f_A$. (messa così il punto 2- non ha soluzione). A questo punto conlcudo che: A non simmetrica <=> non esiste K t.c $K^-1AK=D$ con D diagonale
Io avrei risposto così.
Il problema della tua risposta è che, detto in due parole, parli troppo. Non è escluso che venga accettata (per esempio in un contesto di esame) ma secondo me, quando la risposta si può dare in modo semplice e diretto, bisogna darla in modo semplice e diretto.
Io la farei molto più semplice: se esiste $K$ ortogonale (cioè $K^tK=KK^t=1$) tale che $K^(-1)AK=B$ allora $A=KBK^(-1)$. Per ipotesi sappiamo che $K^(-1)=K^t$ (l'inversa di $K$ coincide con la sua trasposta, perché $K$ è ortogonale). Quindi $A=KBK^t$. Ma $B$ è simmetrica, cioè $B=B^t$, e quindi
$A^t = (KBK^t)^t = KB^tK^t = KBK^t = A$
che è assurdo perché $A$ non è simmetrica.
Io la farei molto più semplice: se esiste $K$ ortogonale (cioè $K^tK=KK^t=1$) tale che $K^(-1)AK=B$ allora $A=KBK^(-1)$. Per ipotesi sappiamo che $K^(-1)=K^t$ (l'inversa di $K$ coincide con la sua trasposta, perché $K$ è ortogonale). Quindi $A=KBK^t$. Ma $B$ è simmetrica, cioè $B=B^t$, e quindi
$A^t = (KBK^t)^t = KB^tK^t = KBK^t = A$
che è assurdo perché $A$ non è simmetrica.
Mi piace molto ed è molto più elegante, ovviamente.
Grazie per il tuo aiuto!!
Sono d'accordissimo, il problema è che non sempre ci si arriva, come nel mio caso
.
Grazie per il tuo aiuto!!
"Martino":
ma secondo me, quando la risposta si può dare in modo semplice e diretto, bisogna darla in modo semplice e diretto
Sono d'accordissimo, il problema è che non sempre ci si arriva, come nel mio caso
.
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