Dubbio su spazio soluzione

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Ragazzi scusate se sto riempiendo il forum ultimamente con i miei messaggi, ma devo capire bene questa benedetta algebra lineare

Ho un dubbio su un esercizio, che io ho risolto a mio modo ma il libro mi indica un altra strada, che però non capisco da cosa derivi, vi faccio vedere il problema:

Trovare un sistema omogeneo in cui insieme soluzione W sia generato da {(1,-2,0,3),(1,-1,-1,4),(1,0,-2,5)}

Risoluzione mia
Per risolvere il problema io ho posto che v = (x,y,z,w) $in$ W $hArr$ (x,y,z,w) = a(1,-2,0,3) + b(1,-1,-1,4) + c(1,0,-2,5)

Risolvendo ho il mio sistema, che si trova con il risultato del libro, ma il testo utilizza un altro metoto (che non capisco e vorrei teoricamente capire su cosa si basa):

Risoluzione Libro
M = $((1,-2,0,3),(1,-1,-1,4),(1,0,-2,5),(x,y,z,w))$ Imposta questa matrice (e non capisco perchè), poi riducendola trova
M = $((1,-2,0,3),(o,1,-1,1),(0,0,2x+y+z,-5x-y+w),(0,0,0,0))$ ed eguaglia 2x+y+z e -5x-y+w a zero, ottenendo il sistema, ma xke lo fa??

Grazie in anticipo

[Lord K]

Osserva che la dimensione di $W$ è $2$ visto che:

$(1,0,-2,5) = 2*(1,-1,-1,4) - (1,-2,0,3)$

quindi il libro non fa altro che considerare la matrice che rappresenta nelle sue righe i vettori che generano $W$ ed un vettore generico. A questo punto impone che il rango di detta matrice sia $2$ come la dimensione di $W$. Il risultato sarà comunque lo stesso che hai trovato tu nell'altra maniera.