Dubbio su soluzioni sistema lineare
Ciao! Ho delle difficoltà nel risolvere l'esercizio 7 http://www3.unifi.it/dipmaa/raffy/Ige08/wIge4-09.pdf
1) Se faccio il determinante di $((4,1,-a),(3,1,-a^2),(5,a,a-2))$ trovo che questo è uguale a $2(a-1)^3$. Quindi: se $a!=1-> rg(A)=3 -> rg(A|B)=3$ $infty^1 sol.$
Viceversa, se $a=1 -> rg(A)=2$, $rg(A|B)=3$, quindi il sistema non ha soluzione. In questo caso, la risposta che viene data all'ersecizio (cioè la 2) combacia con la mia.
2) Se però, faccio il determinante di $((4,2,1),(3,a,1),(5,3,a))$, trovo che questo si azzera per $a=7/4$ e $a=1$ Quindi: se $a!=7/4,1$ ho $1 sol.$
Se $a=1$ i due ranghi sono diversi e quindi il sistema non ammette soluzione. Se $a=7/4$ i due ranghi sono diversi e quindi il sitema non ha soluzione. In questo caso quindi, non riesco a capire la soluzione che viene data all'esercizio. Infatti adesso, ho due valori di $a$ per i quali il sistema non ammette soluzione.
Grazie, ciao!
1) Se faccio il determinante di $((4,1,-a),(3,1,-a^2),(5,a,a-2))$ trovo che questo è uguale a $2(a-1)^3$. Quindi: se $a!=1-> rg(A)=3 -> rg(A|B)=3$ $infty^1 sol.$
Viceversa, se $a=1 -> rg(A)=2$, $rg(A|B)=3$, quindi il sistema non ha soluzione. In questo caso, la risposta che viene data all'ersecizio (cioè la 2) combacia con la mia.
2) Se però, faccio il determinante di $((4,2,1),(3,a,1),(5,3,a))$, trovo che questo si azzera per $a=7/4$ e $a=1$ Quindi: se $a!=7/4,1$ ho $1 sol.$
Se $a=1$ i due ranghi sono diversi e quindi il sistema non ammette soluzione. Se $a=7/4$ i due ranghi sono diversi e quindi il sitema non ha soluzione. In questo caso quindi, non riesco a capire la soluzione che viene data all'esercizio. Infatti adesso, ho due valori di $a$ per i quali il sistema non ammette soluzione.
Grazie, ciao!
Risposte
No attenzione, la prima parte che commenti è corretta, tranne quando dici 1 sol perché in realtà ne hai [tex]\infty^{4-3=1}[/tex] (però forse volevi semplicemente far notare che hai soluzioni).
Poi, invece, quando esamini 2) non stai valutando il rango di A, ma solo di un minore di A. Se tu infatti valuti l'altro minore vedi che per 7/4 non si annulla il determinante, quindi se a = 7/4 il rg non è 2 bensì 3.
In conclusione per
[tex]a\not=1[/tex] hai [tex]rg(A)=rg([A|b])=3 \ \rightarrow[/tex] il sistema ammette [tex]\infty^1[/tex] soluzioni
[tex]a=1[/tex] hai [tex]rg(A)=2\not=rg([A|b])=3 \ \rightarrow[/tex] il sistema non ammette soluzioni
Quindi la risposta corretta è la 2) "non ha soluzioni per un solo valore di a" (cioè a=1)
Spero sia chiaro, se hai ancora dubbi comunque chiedi ...
Ciao
Ely
Poi, invece, quando esamini 2) non stai valutando il rango di A, ma solo di un minore di A. Se tu infatti valuti l'altro minore vedi che per 7/4 non si annulla il determinante, quindi se a = 7/4 il rg non è 2 bensì 3.
In conclusione per
[tex]a\not=1[/tex] hai [tex]rg(A)=rg([A|b])=3 \ \rightarrow[/tex] il sistema ammette [tex]\infty^1[/tex] soluzioni
[tex]a=1[/tex] hai [tex]rg(A)=2\not=rg([A|b])=3 \ \rightarrow[/tex] il sistema non ammette soluzioni
Quindi la risposta corretta è la 2) "non ha soluzioni per un solo valore di a" (cioè a=1)
Spero sia chiaro, se hai ancora dubbi comunque chiedi ...
Ciao
Ely
"*Ely":
Poi, invece, quando esamini 2) non stai valutando il rango di A, ma solo di un minore di A. Se tu infatti valuti l'altro minore vedi che per 7/4 non si annulla il determinante, quindi se a = 7/4 il rg non è 2 bensì 3.
In conclusione per
[tex]a\not=1[/tex] hai [tex]rg(A)=rg([A|b])=3 \ \rightarrow[/tex] il sistema ammette [tex]\infty^1[/tex] soluzioni
[tex]a=1[/tex] hai [tex]rg(A)=2\not=rg([A|b])=3 \ \rightarrow[/tex] il sistema non ammette soluzioni
Quindi la risposta corretta è la 2) "non ha soluzioni per un solo valore di a" (cioè a=1)
Spero sia chiaro, se hai ancora dubbi comunque chiedi ...
Ciao
Ely
Ciao! Non ho capito questo tuo passaggio. Cioè, se avessi subito fatto i determinante di $((4,2,1),(3,a,1),(5,3,a))$ avrei trovato, come detto, due valori: $7/4$ e $1$. A quel punto, come mi sarei dovuto comportare?
A quel punto esamini l'altro minore (sempre della matrice incompleta) e vedi che questo si annulla per [tex]a=1, a=\frac{12}{11}[/tex].
Quindi puoi concludere che il rg(dell' incompleta)=2 per a=1 , altrimenti è 3 (cioè per a diverso da 1).
Non ti devi confondere: devi confrontare sempre il rg della matrice completa con quello dell'incompleta e in questo caso l'incompleta è una Mat 4*3.
Inoltre ricorda che se i minori non si annullano per lo stesso valore del parametro (nel tuo caso a) allora il rg non può "scendere di uno".
Perciò per a=1 entrambi si annullano e rg=2, ma gli altri due valori non sono uguali quindi il rg è ancora 3.
Ora è chiaro?
Quindi puoi concludere che il rg(dell' incompleta)=2 per a=1 , altrimenti è 3 (cioè per a diverso da 1).
Non ti devi confondere: devi confrontare sempre il rg della matrice completa con quello dell'incompleta e in questo caso l'incompleta è una Mat 4*3.
Inoltre ricorda che se i minori non si annullano per lo stesso valore del parametro (nel tuo caso a) allora il rg non può "scendere di uno".
Perciò per a=1 entrambi si annullano e rg=2, ma gli altri due valori non sono uguali quindi il rg è ancora 3.
Ora è chiaro?
"*Ely":
Inoltre ricorda che se i minori non si annullano per lo stesso valore del parametro (nel tuo caso a) allora il rg non può "scendere di uno".
Perciò per a=1 entrambi si annullano e rg=2, ma gli altri due valori non sono uguali quindi il rg è ancora 3.
Ora è chiaro?
Quindi, TUTTI i minori si devono annullare per lo stesso valore affinché il rango possa scendere di uno, giusto?
Si. [Ovviamente nel "tutti" è escluso il minore non singolare, cioè quello da cui parti per orlare, perché se proprio tutti avessero det=0 allora il rango della matrice sarebbe 1]
Grazie mille!
Senza aprire un altro topic, posto qui un'altra domanda, che si riferisce all'esercizio 9 http://www.unifi.it/dipmaa/raffy/IME/ime1-03web.pdf
In questa tipologia di esercizi, come si deve ragionare? Cioè: perché la dimensione sia 3, i tre vettori devono essere linearmente indipendenti, giusto?
Grazie, ciao!
Senza aprire un altro topic, posto qui un'altra domanda, che si riferisce all'esercizio 9 http://www.unifi.it/dipmaa/raffy/IME/ime1-03web.pdf
In questa tipologia di esercizi, come si deve ragionare? Cioè: perché la dimensione sia 3, i tre vettori devono essere linearmente indipendenti, giusto?
Grazie, ciao!
Si
Per vedere ciò, provo a prendere tre vettori qualunque e poi a sostituire i valori oppure...?
Io ho preso tre vettori l.i. e non ortogonali. Oppure ci puoi ragionare .. ma a mio parere così è comunque veloce.
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