Dubbio su risoluzione sistema lineare parametrico tramite eliminazione gaussiana

[Mello15]

Ciao a tutti, vi scrivo perché ho un dubbio sulla risoluzione di un sistema tramite eliminazione gaussiana. Ho letto varie discussioni qua ma continuo ad avere dei dubbi.
Partendo dal seguente sistema:
$\{((b+2)x+bt=-2),((b+2)x+(b+1)z+bt=-1),(x+y-bt = 2-b),(y-bt=3-b):}$
a cui è associata la matrice completa
$((b+2,0,0,b,-2),(b+2,0,b+1,b,-1),(1,1,0,-b,2-b),(0,1,0,-b,3-b))$
che tramite eliminazione gaussiana diveniva
$((b+1,b,0,b+2,-1),(0,b,0,b+2,-2),(0,0,1,b+2,1-b),(0,0,0,1,-1))$
Dalla matrice incompleta trovo che il determinante $ b*(b+1)$ è non nullo per b$!=$0 e b$!=$-1, quindi per Rouché Capelli dato che il rango della matrice completa e di quella completa coincidono e sono uguali a 3 avrò un'unica soluzione. E qui sorge il primo problema, poiché risolvendo trovo $\S=(1/(b+1),1,3,-1)$.
Per $\b=0$ invece trovo che tutti i minori di ordine 4 hanno determinante nullo e quindi per Rouché Capelli avrò $\infty^1$ soluzioni. Risolvendo però trovo $\S= (1,0,3,-1)$. E quindi alla luce di tutto questo mi chiedo: non dovrebbe essere il contrario? Dove sbaglio? Grazie a chi mi saprà dare dei chiarimenti.

[Magma1]

$A= ((b+1,b,0,b+2),(0,b,0,b+2),(0,0,1,b+2),(0,0,0,1)), qquad A|B= ((b+1,b,0,b+2,-1),(0,b,0,b+2,-2),(0,0,1,b+2,1-b),(0,0,0,1,-1)) $

I casi da discutere sono $b=-1, b=0, b=-2$

Per $b=-1$, si ha

$A= ((0,-1,0,1),(0,-1,0,1),(0,0,1,-1),(0,0,0,1)), qquad A|B= ((0,-1,0,-1,-1),(0,-1,0,-1,-2),(0,0,1,-1,2),(0,0,0,1,-1)) $

dove

$r(A)=3<4=r(A|B)$
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Per $b=0$

$A= ((1,0,0,2),(0,0,0,2),(0,0,1,2),(0,0,0,1)), qquad A|B= ((1,0,0,2,-1),(0,0,0,2,-2),(0,0,1,2,1),(0,0,0,1,-1)) $

dove

$r(A)=3=r(A|B)$
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Per $b=-2$

$A= ((-1,-1,0,0),(0,-2,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)), qquad A|B= ((-1,-2,0,0,-1),(0,-2,0,0,-2),(0,0,1,0,3),(0,0,0,1,-1)) $

dove

$r(A)=4= r(A|B)$
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Quindi il sistema

${ ( \text{è incompatibile}, if b=-1 ),( oo^1\text{ soluzioni}, if b=0 ),( exists! \text{soluzione}, ifbne-1 ^^ bne0 ):}$

"allestrato":
Per $\b=0$ invece trovo che tutti i minori di ordine $4$ hanno determinante nullo e quindi per Rouché Capelli avrò $oo^1$ soluzioni. Risolvendo però trovo $S= (1,0,3,-1)$

E $y in RR$ perché la trascuri?

Ammesso che i calcoli siano giusti, per $b=0$ otterresti come vettore soluzione

$((1),(y),(3),(-1))=y((0),(1),(0),(0))+((1),(0),(3),(-1)), qquad y in RR$

[Mello15]

Mi sto sentendo abbastanza cretino, visto che ero bloccato da 2 giorni. Avevo completamente dimenticato y come variabile libera. Grazie mille